【高数+复变函数】傅里叶积分

上一节： 【高数+复变函数】傅里叶级数

【高数+复变函数】傅里叶积分

2. 傅里叶积分

在上一节中，我们知道了傅里叶级数的基本知识，其中，周期为$2l$的函数的傅里叶展开为：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^x\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$令$w=\frac{\pi }{l}$，上式就变成了：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^x\left(a_n\cos nwx+b_n\sin \cos nwx\right)$$在复变函数中，我们常使用$T$为周期，也就是$T=2l$，所以傅里叶级数展开式也就变成了：
$$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)$$其中：

$$\begin{array}{l}\omega =\frac{2\pi }{T}.\\ a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)\mathrm{d}t,\\ a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)\cos nwtdt(n=1,2,3,\cdots ),\\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)\sin nwtdt(n=1,2,3,\cdots ).\end{array}$$

2.1 复数形式积分公式

之后我们把他化成复数形式，利用：
$$\cos \phi =\frac{{\mathrm{e}}^{j\phi }+{\mathrm{e}}^{-j\phi }}{2},\sin \phi =\frac{{\mathrm{e}}^{j\phi }-{\mathrm{e}}^{-j\phi }}{2\mathrm{j}}=-j\frac{{\mathrm{e}}^{j\phi }-{\mathrm{e}}^{-j\phi }}{2}$$
代入可得
$$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n-j{b}_n}{2}{\mathrm{e}}^{jn\omega t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{\mathrm{e}}^{-jn\omega t}\right)$$
之后进行替换：
$$\begin{gathered} c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-jn\omega t}\mathrm{d}t(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ) \\ {\omega }_n=n\omega (n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ) \end{gathered}$$
即可得Fourier级数的复指数形式：
$$f_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{\mathbf{e}}^{j{\omega }_{n}t}=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau ){\mathrm{e}}^{-j{\omega }_n\tau }\mathrm{d}\tau ]{\mathrm{e}}^{j{\omega }_{n}t}$$
现在我们再来考虑非周期函数能否用Fourier积分来表示：

易知：
$$\underset{T\to \infty }{\lim }{f}_T(\begin{array}{c}t\end{array})=f(\begin{array}{c}t\end{array})$$
所以我们可以通过给复指数形式求极限得到$f(t)$，求极限的过程中也可消去连加号（过程省略），最终Fourier积分公式为：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau ){\mathrm{e}}^{-j\omega \tau }\mathrm{d}\tau \right]{\mathrm{e}}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega .$$
至于一个非周期函数$f(t)$在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有下列定理：

2.2 三角形式

$$f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\cos \omega (t-\tau )\mathrm{d}\tau ]\mathrm{d}\omega \text{\hspace{1em}(1.6)}$$

这便是$f(t)$的Fourier积分公式的三角形式。

(1.6)式还可写为：
$$f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\left(\cos \omega t\cos \omega \tau +\sin \omega t\sin \omega \tau \right)\mathrm{d}\tau \right]\mathrm{d}\omega .$$
当$f(t)$是奇函数时：
$$f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }[{\int }_0^{+\infty }f(\tau )\sin \omega \tau \mathrm{d}\tau ]\sin \omega t\mathrm{d}\omega .$$
当$f(t)$是偶函数时：
$$f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_0^{+\infty }f(\tau )\cos \omega \tau \text{d}\tau \right]\cos \omega t\text{d}\omega .$$
它们分别称为 Fourier 正弦积分公式和 Fourier 余弦积分公式。

特别,如果$f(t)$仅在$(0,+\infty )$上有定义且满足 Fourier 积分存在定理的条件,我们可以采用类似于Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓的方法,得到$f(t)$相应的 Fourier 正弦积分展开式或 Fourier 余弦积分展开式

我们可以利用$f(t)$的Fourier积分表达式推证一些反常积分的结果：

例： 求函数$f(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|t\right|\le 1\\ 0,& 其他\end{array}$的Fourier积分表达式

根据余弦积分公式，可得出：
$$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega \cos \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega =\{\begin{array}{l}f(t),t\ne \pm 1,\\ \frac{1}{2},t=\pm 1,\end{array}$$
等价于：
$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega \cos \omega t}{\omega }\mathrm{d}\omega =\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2},|t|<1,\\ \\ \frac{\pi }{4},|t|=1,\\ \\ 0,|t|>1.\end{array}$$
当t=0时，${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega }{\omega }\mathrm{d}\omega =\frac{\pi }{2},$这就是Dirichlet积分。