（浙大陈越版）数据结构 第三章 树(上) 3.1 树和树的表示

目录

3.1.1 引子（顺序查找）

什么是树

查找

3.1.2 引子 二分查找例子(BinarySearch)

二分查找

3.1.3 引子 二分查找实现

二分查找代码

二分查找的启示

3.1.4 树的定义

一些基本术语：

3.1.5 树的表示

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3.1.1 引子（顺序查找）

什么是树

在客观世界上许多事物存在层次关系。如人类社会的家谱、社会组织管理结构、省市县乡镇的分级，计算机中为了还原这种结构，使用了树这种数据结构。

那么为什么要使用这种层次结构？因为分层组织在数据管理方面有更高的效率

下面以数据管理的基本操作之一：查找为例来分析，如何实现有效的查找？

查找

实质：根据某个给定的关键词K，从集合R中找出与关键词K相同的数据

1. 静态查找

• 定义：集合中的数据是固定的。没有插入和删除，对数据集的操作只有查找。——比如一本出版字典
• 实现：一般使用数组存放数据
• 方法：顺序查找

2. 动态查找

• 定义：集合中数据是动态变化的。对数据集的操作有查找、插入和删除。——比如一个论文数据库

顺序查找详解：（实际上就是遍历）时间复杂度：O(n)

typedef struct LNode *List;
struct LNode{ElementType Element[MaxSize];int length;
};int SequentialSearch(List Tbl,ElementType K)
{//遍历ElementType查找关键字为K的数据元素int i;Tbl->Element[0] = K;//建立哨兵，预先设立边界值而不需要每次都判断for(i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--);//查找成功返回下标，不成功返回0return i;
}//不用哨兵的
int SequentialSearch(List Tbl,ElementType K)
{int i;//两个退循环条件，i控制边界，tbl检测是否相等for(i = Tbl->Length; i>0 && Tbl->Element[i] != K; i--);return i;
}

3.1.2 引子 二分查找例子(BinarySearch)

假设两个地点AB之间的高压电站有100w个，从A向B输电，某一天两个地方都突然停电了，现在需要排查是哪里的电站出问题。如果一个一个排查过去，平均需要50w次才能排查结束。如果先从最中央的一个电站开始排查，再向断电的那一半的中间...每次折半查找，那么只需要log2（1000000）=20次就可以排查完毕。

二分查找

• 前提：数据元素的关键字需要是有序且连续存放
• 退出条件：1.初始时right>left,结束时left>right，二者错位，说明查找失败2.查找成功，返回

3.1.3 引子 二分查找实现

二分查找代码

//函数参数表为存放着数据的列表Tbl和要找的元素K
int BinarySearch(List Tbl, ElementType K)
{//定义左中右标识变量，赋初值,-1为方便返回NoFoundint left,right,mid,NoFound = -1;//初始左右边界，先让左边界为最左侧元素，右边界为表尾left = 1;right = Tbl->length;while(left <= right){mid = (left + right)/2;//若中值大于要找的元素Kif(K < Tbl->Element[mid]){right = mid - 1;//说明应该往左半侧找，把右边界更新为此时的中值-1即可}else if(K > Tbl->Element[mid]){left = mid + 1;}else{return mid;}}//如果找到了会提前退出循环，没找到会返回NoFound即-1return NoFound;
}

这个算法的时间复杂度是对数级的O(logN)

二分查找的启示

由二分查找判断元素的顺序可以绘制出如下判定树

从图中可以发现：

• 每个结点需要查找的次数刚好等于这个结点所在的层数
• 查找次数的上限是这个判定树的深度
• 如果有n个结点，那么判定树的深度为[log2(N)]+1
• 平均查找次数ASL = (每层个数*层数之和)/总结点数。此树ASL = (1+2*2+4*3+4*4)/11=3

那么如果直接将数据存储成树这样的形式，会不会对数据的查找更有裨益呢？当然会。之后我们就将讲到查找树这种存储形式。

3.1.4 树的定义

树(Tree)：n(n>=0)个结点构成的有限集合

空树：n=0，即没有结点。其对应的是非空树。

对于任意一颗非空树，它具备以下性质：

树中有一个称为根（Root）的特殊结点，用r表示

其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm，其中每个集合本身也是一棵树，称为原来树的子树(SubTree)

非树：

• 子树之间有相交

树：——  一种保证结点联通方式最小的连接方式

• 子树之间不能相交
• 除根结点以外，每个结点有且仅有一个父结点
• 一颗N个结点的树有N-1条边

一些基本术语：

1. 结点的度：结点子树个数（有几个直接相连的子结点）
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数（树所有结点里子树最多的那一项，子树的个数）
3. 叶结点(Leaf)：度为0的结点
4. 父结点(Parent)：有子树的结点是其子树的根节点的父结点
5. 子结点(Child)：也称孩子节点。若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点。
6. 兄弟结点(Sibiling)：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1,n2,...,nk,ni是ni+1的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度。
8. 祖先结点(Ancestor)：沿树根到某一结点路径上所有结点都是这个结点的祖先结点。（层数高的是层数低的祖先）
9. 子孙结点(Descendant)：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙
10. 结点的层次(Level)：规定根结点在一层，其它任一结点的层数是其父结点层数+1
11. 树的深度(Depth)：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度

3.1.5 树的表示

知道了树的抽象结构和基本概念，下面我们需要能在计算机中表示树这种结构。首先我们肯定是需要在已有的结构中选择一种。

 使用结构+链表

看似结构很像，实则在实现过程中，每个结点指向其他结点的个数并不相同，结构不一定能囊括所有情况。那如果将所有的结点都设计成一个形式，比如都留3个指针域，有的结点可能只用一个，但这样能保证结点结构统一，处理方便。但当树的体积非常庞大时候，这样的做法会造成巨大的浪费。

有一种较好的表示方法，同样是使用结构+链表的形式，所有结点结构相同。每个结点包含两个指针域，一个是FirstChild，指向这个结点的第一个孩子结点，另一个是NextSibiling，指向它的下一个兄弟结点。这种形式的树我们称为：二叉树(链表)