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机器学习笔记之生成模型综述(五)重参数化技巧(随机反向传播)

news 2026/3/27 21:30:02

机器学习笔记之生成模型综述——重参数化技巧[随机反向传播]

引言
- 回顾
- - 神经网络的执行过程
  - 变分推断——重参数化技巧
- 重参数化技巧(随机反向传播)介绍
- - 示例描述——联合概率分布
  - 示例描述——条件概率分布
- 总结

引言

本节将系统介绍重参数化技巧。

回顾

神经网络的执行过程

上一节比较了概率图模型与神经网络结构，介绍了它们的各自特点。神经网络(这里指前馈神经网络结构)本质上是一个 函数逼近器：

基于一个复杂函数 $Y=f(X)\mathcal Y = f(\mathcal X)$ ，可通过神经网络进行学习，并对该函数进行近似描述。
根据具体任务以及输出信息 $Y\mathcal Y$ 的性质，去构建对应策略(目标函数/损失函数)：
例如线性回归( $Regression\text{Linear Regression}$ )任务中，使用最小二乘估计对预测结果 $WTx(i)\mathcal W^Tx^{(i)}$ 和真实标签 $y^{(i)}$ 之间的关联关系进行描述：
这里省略了偏置信息 $b$ ,并且 $x^{(i)},y^{(i)})$ 是数据集合中的一个样本。
$L(W)=∑i=1N∣∣WTx(i)−y(i)∣∣2\mathcal L(\mathcal W) = \sum_{i=1}^N ||\mathcal W^Tx^{(i)} - y^{(i)}||^2$
在确定目标函数后，使用梯度下降( $Descent,GD\text{Gradient Descent,GD}$ )方法配合反向传播算法( $Propagation,BP\text{Backward Propagation,BP}$ )对神经网络内部权重、偏置参数进行学习与更新。

变分推断——重参数化技巧

在变分推断——重参数化技巧中，我们同样介绍过重参数化技巧：

针对难求解的( $Intractable\text{Intractable}$ )关于隐变量 $Z\mathcal Z$ 的后验概率分布 $P(Z∣X)\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)$ ，通过变分推断( $Inference,VI\text{Variational Inference,VI}$ )的手段，人为定义一个概率分布 $Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)$ 去近似 $P(Z∣X)\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)$ ：
需要注意的是，这里的 $Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)$ 并非指的关于隐变量 $Z\mathcal Z$ ‘边缘概率分布’,而是条件概率分布 $Q(Z∣X)\mathcal Q(\mathcal Z \mid \mathcal X)$ 缩写而成。
$log⁡P(X)=∫ZQ(Z)⋅[P(X,Z)Q(Z)]dZ−∫ZQ(Z)⋅[P(Z∣X)Q(Z)]dZ=ELBO+KL[Q(Z)∣∣P(Z∣X)]\begin{aligned} \log \mathcal P(\mathcal X) & = \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z) \cdot \left[\frac{\mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z)}{\mathcal Q(\mathcal Z)}\right] d\mathcal Z - \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z) \cdot \left[\frac{\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)}{\mathcal Q(\mathcal Z)}\right] d\mathcal Z \\ & = \text{ELBO} + \text{KL} [\mathcal Q(\mathcal Z)||\mathcal P(\mathcal Z \mid \mathcal X)] \\ \end{aligned}$
将证据下界( $Bound,ELBO\text{Evidence of Lower Bound,ELBO}$ )看作关于 $Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)$ 的一个函数。称作 $Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)$ 的变分( $Variation\text{Variation}$ )。记作 $L[Q(Z)]\mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)]$ ：
$ELBO=∫ZQ(Z)⋅[P(X,Z)Q(Z)]dZ=L[Q(Z)]\begin{aligned} \text{ELBO} = \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z) \cdot \left[\frac{\mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z)}{\mathcal Q(\mathcal Z)}\right] d\mathcal Z = \mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)] \end{aligned}$
在随机梯度变分推断( $SGVI\text{Stochastic Gradient Variational Inference, SGVI}$ )的思路中，将条件概率分布 $Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)$ 视作一个关于参数 $ϕ\phi$ 的函数形式 $Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)$ ，那么对应变分 $L[Q(Z)]\mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)]$ 也可描述成关于 $ϕ\phi$ 的函数形式：
此时将求解分布 $Q(Z)\mathcal Q(\mathcal Z)$ 的问题转化为求解最优参数 $ϕ^\hat \phi$ 的问题。
$L[Q(Z)]=L[Q(Z;ϕ)]⇒L(ϕ)\mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z)] = \mathcal L[\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)] \Rightarrow \mathcal L(\phi)$
基于 $L(ϕ)\mathcal L(\phi)$ 求解最大值，使用梯度上升( $Ascent,GA\text{Gradient Ascent,GA}$ )方法近似求解。对应函数梯度表示如下：
${ϕ(t+1)⇐ϕ(t)+η∇ϕL(ϕ)∇ϕL(ϕ)=EQ(Z;ϕ){∇ϕlog⁡Q(Z;ϕ)⋅[log⁡P(X,Z)−log⁡Q(Z;ϕ)]}\begin{cases} \phi^{(t+1)} \Leftarrow \phi^{(t)} + \eta \nabla_{\phi} \mathcal L(\phi) \\ \nabla_{\phi} \mathcal L(\phi) = \mathbb E_{\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)} \left\{\nabla_{\phi}\log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi) \cdot [\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)] \right\} \end{cases}$
在使用蒙特卡洛方法进行采样近似过程中，关于 $∇ϕlog⁡Q(Z;ϕ)\nabla_{\phi}\log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)$ 极容易出现高方差现象( $Variance\text{High Variance}$ )，导致采样出的梯度结果 $∇ϕL(ϕ)\nabla_{\phi} \mathcal L(\phi)$ 极不稳定：
$Variance[log⁡P(X,z(n))−log⁡Q(z(n);ϕ)]}\nabla_{\phi}\mathcal L(\phi) \approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \left\{\underbrace{\nabla_{\phi} \log \mathcal Q(z^{(n)};\phi)}_{\text{High Variance}} \left[\log \mathcal P(\mathcal X,z^{(n)}) - \log \mathcal Q(z^{(n)};\phi)\right]\right\}$
针对已经被视作函数的 $Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)$ ，通过重参数化技巧，通过构建一个 随机变量 $ϵ\epsilon$ ，使得 $ϵ\epsilon$ 与隐变量 $Z\mathcal Z$ 之间存在如下函数关系：
$Z=G(ϵ,X;ϕ)\mathcal Z = \mathcal G(\epsilon,\mathcal X ;\phi)$
从而使得 $ϵ\epsilon$ 对应的概率分布 $P(ϵ)\mathcal P(\epsilon)$ 与分布 $Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)$ 之间存在如下关系：
$EQ(Z;ϕ)[f(Z)]=EP(ϵ){f[G(ϵ,X;ϕ)]}\mathbb E_{\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)} \left[f(\mathcal Z)\right] = \mathbb E_{\mathcal P(\epsilon)} \left\{f[\mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)]\right\}$
将上述关系带回原式，通过链式求导法则，可以表示成如下形式：
- 将期望形式化简回积分形式。
- 牛顿-莱布尼兹公式，将 $∇ϕ\nabla_{\phi}$ 提到积分号前，后面再带回去。
- 将 $Z=G(ϵ,X;ϕ)\mathcal Z = \mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)$ 代入，并将采样分布 $Q(Z;ϕ)\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)$ 替换为 $P(ϵ)\mathcal P(\epsilon)$ .
  $∇ϕL(ϕ)=EQ(Z;ϕ){∇ϕlog⁡Q(Z;ϕ)⋅[log⁡P(X,Z)−log⁡Q(Z;ϕ)]}=∇ϕ∫ZQ(Z;ϕ)⋅[log⁡P(X,Z)−log⁡Q(Z;ϕ)]dZ=EP(ϵ)[∇ϕ(log⁡P(X,Z)−log⁡Q(Z;ϕ))]=EP(ϵ)[∇Z(log⁡P(X,Z)−log⁡Q(Z;ϕ))⋅∇ϕG(ϵ,X;ϕ)]\begin{aligned} \nabla_{\phi}\mathcal L(\phi) & = \mathbb E_{\mathcal Q(\mathcal Z;\phi)} \left\{\nabla_{\phi}\log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi) \cdot [\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)] \right\} \\ & = \nabla_{\phi} \int_{\mathcal Z} \mathcal Q(\mathcal Z;\phi) \cdot \left[\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)\right] d\mathcal Z \\ & = \mathbb E_{\mathcal P(\epsilon)} \left[\nabla_{\phi}(\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi))\right] \\ & = \mathbb E_{\mathcal P(\epsilon)} [\nabla_{\mathcal Z}(\log \mathcal P(\mathcal X,\mathcal Z) - \log \mathcal Q(\mathcal Z;\phi)) \cdot \nabla_{\phi}\mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)] \end{aligned}$

通过这种重参数化技巧——将变量 $Z\mathcal Z$ 与简单分布对应变量 $ϵ\epsilon$ 之间构建关联关系的方式，仅需要从简单分布 $P(ϵ)\mathcal P(\epsilon)$ 中进行采样，也可以采集出 $∇ϕL(ϕ)\nabla_{\phi}\mathcal L(\phi)$ 中的样本。

重参数化技巧(随机反向传播)介绍

关于神经网络，可以通过通用逼近定理( $Theorem\text{Universal Approximation Theorem}$ )来逼近任意函数。那么神经网络是否也可以用来 逼近概率分布 呢？
从概率图模型的视角，概率分布 $P(X)\mathcal P(\mathcal X)$ 就是概率图模型结构的表示( $Representation\text{Representation}$ )。如果能够直接使用神经网络直接将 $P(X)\mathcal P(\mathcal X)$ 描述出来，就称之为随机反向传播( $Propagation\text{Stochastic Backward Propagation}$ )，也称重参数化技巧( $Trick\text{Reparametrization Trick}$ )。

在上面关于变分推断——重参数化技巧的过程中，关于 $Z=G(ϵ,X;ϕ)\mathcal Z = \mathcal G(\epsilon,\mathcal X;\phi)$ 中的函数 $G\mathcal G$ ，同样可以描述成如下结构：
重参数化技巧——神经网络结构

这里从简单的概率分布开始，观察如何使用重参数化技巧对概率分布进行描述的。

示例描述——联合概率分布

假设某随机变量 $Y\mathcal Y$ 服从均值为 $μ\mu$ ，方差为 $σ2\sigma^2$ 的一维正态分布：
$P(Y)=N(μ,σ2)\mathcal P(\mathcal Y) = \mathcal N(\mu,\sigma^2)$
如果直接从这个分布中进行采样，可能是复杂的。但是如果可以假定一个变量 $Z\mathcal Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)\mathcal N(0,1)$ ，并且 $Y,Z\mathcal Y,\mathcal Z$ 之间满足如下关系：
$Y=μ+σ×Z\mathcal Y = \mu + \sigma \times \mathcal Z$
那么则有：
该部分推导过程详见：变分推断——重参数化技巧
$EP(Y)[f(Y)]=EP(Z)[f(μ+σ×Z)]\mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Y)} [f(\mathcal Y)] = \mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Z)} [f(\mu + \sigma \times \mathcal Z)]$
这种替换采样分布的操作意味着：在给定 $Z\mathcal Z$ 分布的条件下，完全可以通过采样 $Z\mathcal Z$ 分布，得到 $Y\mathcal Y$ 分布的样本：
这里的 $Z(i),Y(i)\mathcal Z^{(i)},\mathcal Y^{(i)}$ 分别表示概率分布 $P(Z),P(Y)\mathcal P(\mathcal Z),\mathcal P(\mathcal Y)$ 中采集的样本。
${Z(i)∼N(0,1)Y(i)=μ+σ×Z(i)\begin{cases} \mathcal Z^{(i)} \sim \mathcal N(0,1) \\ \mathcal Y^{(i)} = \mu + \sigma \times \mathcal Z^{(i)} \end{cases}$
重新观察 $Y=μ+σ×Z\mathcal Y = \mu + \sigma \times \mathcal Z$ ，这明显就是一个简单的一次函数。从广义的角度观察，可以将 $Y,Z\mathcal Y,\mathcal Z$ 之间满足如下函数关系：
其中 $Z\mathcal Z$ 在函数中表示变量; $μ,σ\mu,\sigma$ 在函数中表示权重参数。
$Y=f(Z;μ,σ)\mathcal Y = f(\mathcal Z;\mu,\sigma)$
这意味着：我们不否认变量 $Y\mathcal Y$ 具有随机性，只不过变量 $Y\mathcal Y$ 的随机性由变量 $Z\mathcal Z$ 决定。也就是说，除了 $Z\mathcal Z$ 的随机性，其他变量(这里指的 $Y\mathcal Y$ )都是确定性变换，那么完全可以使用神经网络对函数 $f(Z;μ,σ)f(\mathcal Z;\mu,\sigma)$ 进行逼近：

这里的‘确定性变换’是指：当变量 $Z\mathcal Z$ 确定的条件下，那么变量 $Y\mathcal Y$ 根据函数 $f(Z;μ,σ)f(\mathcal Z;\mu,\sigma)$ 也跟着确定。也就是说 $Z,Y\mathcal Z,\mathcal Y$ 之间存在明确的映射关系。
使用神经网络逼近函数，完全不用担心原始函数中的参数 $μ,σ\mu,\sigma$ ,因为被替代的神经网络权重参数 $θ\theta$ 本身没有实际意义。

如果定义 $J(Y)\mathcal J(\mathcal Y)$ 为目标函数，在对目标函数求解极值的过程中，对模型参数 $θ\theta$ 求解梯度。根据链式求导法则，梯度 $∇θJ(Y)\nabla_{\theta}\mathcal J(\mathcal Y)$ 可表示为如下形式：
${J(Y)=J[f(Z;μ,σ)]∇θJ(Y)=∇YJ(Y)⋅∇θf(Z;μ,σ)\begin{cases} \mathcal J(\mathcal Y) = \mathcal J[f(\mathcal Z;\mu,\sigma)] \\ \nabla_{\theta} \mathcal J(\mathcal Y) = \nabla_{\mathcal Y} \mathcal J(\mathcal Y) \cdot \nabla_{\theta}f(\mathcal Z;\mu,\sigma) \end{cases}$

示例描述——条件概率分布

假设给定随机变量 $X\mathcal X$ 条件下，随机变量 $Y\mathcal Y$ 的条件概率分布满足如下关系：
$P(Y∣X)=N(μ,σ2∣X)\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X) = \mathcal N(\mu,\sigma^2 \mid \mathcal X)$
与上面描述对应，可以根据分布 $N(μ,σ2∣X)\mathcal N(\mu,\sigma^2 \mid \mathcal X)$ ，可以将随机变量 $Y\mathcal Y$ 与随机变量 $X\mathcal X$ 之间描述成如下函数关系：
${Z∼N(0,1)Y=μ(X)+σ(X)×Z\begin{cases} \mathcal Z \sim \mathcal N(0,1) \\ \mathcal Y = \mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z \end{cases}$
同样可以使用上述方法，对随机变量 $Y\mathcal Y$ 与随机变量 $Z\mathcal Z$ 之间的关系进行验证：

关键点1：从概率密度函数的角度观察，由于 $X\mathcal X$ 是条件，是已知量。因而可以将 $N(μ,σ2∣X)\mathcal N(\mu,\sigma^2 \mid \mathcal X)$ 看作是随机变量 $X\mathcal X$ 参与的概率密度函数: $N[μ(X),σ2(X)]\mathcal N[\mu(\mathcal X),\sigma^2(\mathcal X)]$
证明期望 $EP(Y∣X)[f(Y)]\mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)} [f(\mathcal Y)]$ 转换成期望 $EP(Z){f[μ(X)+σ(X)×Z]}\mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Z)} \{f[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z]\}$ 的过程实际上是描述 $Y\mathcal Y$ 被替换成 $μ(X)+σ(X)×Z\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z$ 后，其采样分布也会由 $P(Y∣X)\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)$ 转换成 $P(Z)\mathcal P(\mathcal Z)$ ,而不仅仅是单纯意义上的替换。
关键点2：将 $Y=μ(X)+σ(X)×Z\mathcal Y = \mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z$ 代入的过程中，由于是对 $Z\mathcal Z$ 求解偏导，因而有 $dY=d[μ(X)+σ(X)×Z]=σ(X)dZd\mathcal Y = d[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] = \sigma(\mathcal X) d\mathcal Z$

$EP(Y∣X)[f(Y)]=∫YP(Y∣X)⋅f(Y)dY=∫Y1σ(X)⋅2πexp⁡{−[Y−μ(X)]22σ2(X)}⏟N[μ(X),σ2(X)]⋅f(Y)dY=∫Z1σ(X)⋅2πexp⁡{−[μ(X)+σ(X)×Z−μ(X)]22σ2(X)}⋅f[μ(X)+σ(X)×Z]⋅σ(X)dZ⏟d[μ(X)+σ(X)×Z]=∫Z12π⋅exp⁡(−Z22)⏟P(Z)=N(0,1)⋅f[μ(X)+σ(X)×Z]dZ=∫ZP(Z)⋅f[μ(X)+σ(X)×Z]dZ=EP(Z){f[μ(X)+σ(X)×Z]}\begin{aligned} \mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)} [f(\mathcal Y)] & = \int_{\mathcal Y} \mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X) \cdot f(\mathcal Y) d\mathcal Y \\ & = \int_{\mathcal Y} \underbrace{\frac{1}{\sigma(\mathcal X) \cdot \sqrt{2\pi}}\exp \left\{-\frac{[\mathcal Y - \mu(\mathcal X)]^2}{2\sigma^2(\mathcal X)}\right\}}_{\mathcal N[\mu(\mathcal X),\sigma^2(\mathcal X)]} \cdot f(\mathcal Y) d\mathcal Y \\ & = \int_\mathcal Z \frac{1}{\sigma(\mathcal X) \cdot \sqrt{2\pi}} \exp \left\{-\frac{[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z - \mu(\mathcal X)]^2}{2\sigma^2(\mathcal X)}\right\} \cdot f[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] \cdot \underbrace{\sigma(\mathcal X) d\mathcal Z}_{d[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z]} \\ & = \int_{\mathcal Z} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp \left(-\frac{\mathcal Z^2}{2}\right)}_{\mathcal P(\mathcal Z) = \mathcal N(0,1)} \cdot f[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] d\mathcal Z \\ & = \int_{\mathcal Z}\mathcal P(\mathcal Z) \cdot f[\mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z] d\mathcal Z \\ & = \mathbb E_{\mathcal P(\mathcal Z)} \{f[\mu(\mathcal X) +\sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z]\} \end{aligned}$
同理，基于上述的神经网络描述，同样也可以随机变量 $X,Z∼N(0,1)\mathcal X,\mathcal Z \sim \mathcal N(0,1)$ 为输入， $Y\mathcal Y$ 作为输出，学习并逼近函数 $Y=μ(X)+σ(X)×Z\mathcal Y = \mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z$ ：
重参数化技巧——函数拟合条件概率分布
继续向下观察。从 $Y=μ(X)+σ(X)×Z\mathcal Y = \mu(\mathcal X) + \sigma(\mathcal X) \times \mathcal Z$ 中可以观察到：

$Y\mathcal Y$ 是关于 $Z\mathcal Z$ 的函数，其中参数是 $μ(X),σ(X)\mu(\mathcal X),\sigma(\mathcal X)$ ；
而 $μ,σ\mu,\sigma$ 均是关于 $X\mathcal X$ 的函数。

既然 $μ,σ\mu,\sigma$ 函数均以随机变量 $X\mathcal X$ 作为输入，这里将这两个函数的参数统一描述成 $θ\theta$ 。即： $μ(X;θ),σ(X;θ)\mu(\mathcal X;\theta),\sigma(\mathcal X;\theta)$ 。这种变换意味着：仅通过学习模型参数 $θ\theta$ ，就可以将 $μ(X),σ(X)\mu(\mathcal X),\sigma(\mathcal X)$ 均给表示出来。上述神经网络结构可细化成如下形式：
其中 $⊙\odot$ 表示点乘; $⊕\oplus$ 表示数学加法。
重参数化技巧——函数拟合条件概率分布(细致划分1)
关于模型参数 $θ\theta$ 的参数学习过程可以很灵活。关于函数 $μ(X),σ(X)\mu(\mathcal X),\sigma(\mathcal X)$ 可以再详细分成不同的模型参数 $μ(X;θ),σ(X;ϕ)\mu(\mathcal X;\theta),\sigma(\mathcal X;\phi)$ 进行学习：
神经网络仅是一个‘函数逼近器’的作用，如何将模型参数学习的更好，可以有很深的挖掘空间。只不过这里我们事先知道 $Y\mathcal Y$ 的分布是 $N(μ,σ∣X)\mathcal N(\mu,\sigma\mid \mathcal X)$ ,这里的 $μ,σ\mu,\sigma$ 被赋予了实际意义。但真实情况是，这个条件概率分布 $Y\mathcal Y$ 可能非常复杂。我们对模型参数组成可能一无所知。
重参数化技巧——函数拟合条件概率分布(细致划分2)
同样可以构建一个目标函数 $J(Y)\mathcal J(\mathcal Y)$ ，通过链式求导法则，将对应的模型参数梯度进行求解。
示例：如果通过重参数化技巧产生样本所代表的概率分布 $Ypred\mathcal Y_{pred}$ 与真实分布 $Y\mathcal Y$ 之间的差距(可以看成一个基于分布的回归任务)，可以通过最小二乘估计对差距进行描述：

这里以第一种模型结构为例。
其中 $Ygene(i)\mathcal Y_{gene}^{(i)}$ 就是图中 $Y\mathcal Y$ 通过上述模型结构产生的一个样本(幻想粒子)，与对应真实分布中的 $Y(i)\mathcal Y^{(i)}$ 样本进行比较。
$J(Ygene;θ)=∑i=1N∣∣Ygene(i)−Y(i)∣∣2\mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta) = \sum_{i=1}^N ||\mathcal Y_{gene}^{(i)} - \mathcal Y^{(i)}||^2$
对应梯度 $∇θJ(Ygene;θ)\nabla_{\theta}\mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta)$ 可表示为：
$∇θJ(Ygene;θ)=∂J(Ygene;θ)∂Ygene⋅∂Ygene∂μ(X;θ)⋅∂μ(X;θ)∂θ+∂J(Ygene;θ)∂Ygene⋅∂Ygene∂σ(X;θ)⋅∂σ(X;θ)∂θ\nabla_{\theta} \mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta) = \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta)}{\partial \mathcal Y_{gene}} \cdot \frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \mu(\mathcal X;\theta)} \cdot \frac{\partial \mu(\mathcal X;\theta)}{\partial \theta} + \frac{\partial \mathcal J(\mathcal Y_{gene};\theta)}{\partial \mathcal Y_{gene}} \cdot \frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \sigma(\mathcal X;\theta)} \cdot \frac{\partial \sigma(\mathcal X;\theta)}{\partial \theta} \end{aligned}$

总结

通过上面的描述，通过重参数化技巧构造神经网络去逼近联合概率分布、条件概率分布。关于这种表示方式，对于生成分布 $Y\mathcal Y$ 是存在约束条件的。即： $Y\mathcal Y$ 是一个 连续分布。这才能使 $∂Ygene∂μ(X;θ),∂Ygene∂σ(X;θ)\frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \mu(\mathcal X;\theta)},\frac{\partial \mathcal Y_{gene}}{\partial \sigma(\mathcal X;\theta)}$ 有解。

至此，生成模型部分介绍结束，下一节将介绍流模型( $Model\text{Flow-based Model}$ )。

相关参考：
生成模型6-重参数化技巧(随机后向传播)