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Diffusion model(三): 公式结论

接上文

Diffusion model(一): 公式推导详解

这一节主要总结之前文章的公式结论

1. 已知x0x_{0}x0时,sample过程的均值和方差
q(xt−1∣xt,x0)=(xt−1;μ~(xt,x0),β~tI)\begin{aligned} q(x_{t-1}|x_{t}, x_{0}) = \mathcal(x_{t-1}; \tilde{\mu}(x_{t}, x_{0}), \tilde{\beta}_{t}I) \end{aligned} q(xt1xt,x0)=(xt1;μ~(xt,x0),β~tI)

得到
{β~t=1−α‾t−11−α‾t⋅βtμ~t(xt,x0)=αt(1−α‾t−1)1−α‾txt+α‾t−1βt1−α‾tx0\left\{ \begin{array}{ll} \tilde{\beta}_{t} = \frac{1-\overline{\alpha}_{t-1}}{1-\overline{\alpha}_{t}} \cdot \beta_{t} \\ ~~ \\ \tilde{\mu}_{t}(x_{t}, x_{0}) = \frac{\sqrt{\alpha_{t}}(1-\overline{\alpha}_{t-1})}{1-\overline{\alpha}_{t}}x_{t} + \frac{\sqrt{\overline{\alpha}_{t-1}}\beta_{t}}{1-\overline{\alpha}_{t}}x_{0} \end{array} \right. β~t=1αt1αt1βt  μ~t(xt,x0)=1αtαt(1αt1)xt+1αtαt1βtx0

2. 已知xtx_{t}xt以及预测噪声ϵ\epsilonϵ,计算x0x_{0}x0

注意这里的噪声是xt−1x_{t-1}xt1xtx_{t}xt增加的噪声,已知xt=α‾tx0+1−α‾tz‾tx_{t} = \sqrt{\overline{\alpha}_{t}}x_{0} + \sqrt{1-\overline{\alpha}_{t}}\overline{z}_{t}xt=αtx0+1αtzt,得
x0=1α‾txt−1−α‾tα‾tztx_{0} = \frac{1}{ \sqrt{\overline{\alpha}_{t}}} x_{t} - \frac{\sqrt{1-\overline{\alpha}_{t}}}{\sqrt{\overline{\alpha}_{t}}} {z}_{t} x0=αt1xtαt1αtzt

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