C语言数据结构——树、堆（堆排序）、TOPK问题

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目录

树

树的概念

树的表示

二叉树

二叉树概念：

特殊的二叉树

二叉树的性质

二叉树的存储结构

2. 链式存储

堆

二叉树的顺序结构

堆的概念及结构

堆排序 

堆排序的实现

建堆

堆排序

TOPK

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树

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

图1

图2

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如图2:A的度为6

叶节点（终端节点）：度为0的节点称为叶节点；如图2:B、C、H、I...等为叶节点

父节点（双亲节点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如图2:A是B的父节点

子节点（孩子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如图2:B是A的子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如图2:B、C是兄弟节点

树的度：一颗树中，最大的节点的度称为树的度；如图2:树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，依次类推

树的高度（树的深度）：树中节点的最大层次；如图2:树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如图2:H、I互为堂兄弟节点

节点祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如图2；A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；如图2:所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法，即左孩子右兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

图3

树在实际中的运用：表示文件系统的目录树结构

图4

二叉树

二叉树概念：

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两颗互不相交的，分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

图5

（1）二叉树的最大度为2；

（2）每个结点最多有两棵子树；

（3）左子树和右子树是有顺序的；

（4）即使树中某结点只有一颗子树，也要区分左右；

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

图6

特殊的二叉树

1.满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且节点总数是2^k-1，则它是满二叉树。

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点————对应时称之完全二叉树。要注意满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 图7

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2+1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2^(n+1) (是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

（1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

（2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

（3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1.顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

图8

2. 链式存储

...

堆

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段

堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = {k0,k1,k2,...,k[n-1] }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储

在一个一维数组中，并满足： Ki<=K[2*i+1] 且Ki<=K[2*i+2](Ki>=K[2*i+1] 且Ki>=K[2*i+2]),i=0,1,2...n

则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树

图9

堆排序 

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，他的时间复杂度是O(N*logN)相较于冒泡排序（O(N*N)）他的时间效率非常高。

堆排序的实现

1.将无序序列构建成一个堆，根据升序(降序)需求选择大根堆(小根堆)

2.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素（最小元素）“沉”到数组末端

3.重新调整结构使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序

建堆

建堆有着两种建堆的方法，向上调整建堆和向下调整建堆，不管是建大根堆还是小根堆这两种方法都可以。

向上调整：

这里是准备建小根堆，Swap是交换函数（交换两个变量的值），判断最后一个孩子节点child的值是否比其父节点parent的值小，如果child的值比parent的值小，就交换父子节点的值，然后孩子节点child的位置移到父节点parent的位置，父节点parent移到父节点的父节点，然后再次判断孩子节点child的值与父节点parent的值的大小，直到child移到了根节点，如果child的值比parent的值如果大，就不用交换并且说明本次调整完成。

void AdjustUP(int* a,int n)
{int child=n-1;int parent=(child-1)/2;while(child>0){if(a[child]<a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child=parent;parent=(child-1)/2;}else{break;}}
}

向下调整：

这里是准备建小根堆，判断父节点parent的值是否比其孩子节点child（一般父节点都有两个孩子节点，这里的孩子节点是两个中较小的那个）的值小，如果child的值比parent的值小，就交换父子节点的值，然后父节点parent的位置移到孩子节点child的位置，孩子节点child移到孩子节点的孩子节点的位置，然后再次判断孩子节点child的值与父节点parent的值的大小，直到child的值大于元素个数，如果child的值比parent的值如果大，就不用交换并且说明本次调整完成。

void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{int child=parent*2+1;while(child<n){if(child+1<n&&a[child]>a[child+1]){child++;}if(a[child]<a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent=child;child=parent*2+1;}else{break;}}
}

向上调整建堆：

 向上建堆是从第二层开始直到第h层，所以其时间复杂度为O(N*logN)

  for(int i=1;i<n;i++){AdjustUP(a, i);}

向下调整建堆：

向下建堆是从第h-1层直到第一层，所以其时间复杂度为O(N)

for(int i=(n-1-1)/2;i>=0;i--){AdjustDown(a, n,i);}

堆排序

由于有两种建堆方式，向上调整建堆和向下调整建堆，所以就有两种堆排序方式。

HeapSort_UP(向上建堆排序):

//时间复杂度为O(N*logN)
void HeapSort_UP(int* a,int n)
{//向上建堆是从第二层开始直到第h层，所以其时间复杂度为O(N*logN)for(int i=1;i<n;i++){AdjustUP(a, i);}int end=n-1;//建堆完成后，需要进行向下调整其时间复杂度为O(N*logN)while(end>0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end,0);end--;}
}

HeapSort_Down(向下建堆排序):

//时间复杂度为N*logN
void HeapSort_Down(int* a,int n)
{//向下建堆是从第h-1层直到第一层，所以其时间复杂度为O(N)for(int i=(n-1-1)/2;i>=0;i--){AdjustDown(a, n,i);}int end=n-1;//建堆完成后，需要进行向下调整其时间复杂度为O(N*logN)while(end>0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end,0);end--;}
}

总结：向上建堆从第二层开始直到第h层，向下建堆是从第h-1层直到第一层，虽然它们经历的层数相同，但是向上建堆中第一层不用调整，向下建堆中第h层不用调整（h为最后一层），第一层的元素只有一个，第h层元素有2^(h-1)个。所以他们的时间复杂度不同，向上建堆为O(N*logN)，向下建堆为O(N)，尽量使用向下建堆的方式来实现堆排序。

TOPK

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素,将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

例如：我们这里实现在1000000个数中找出5个最大的数，为了方便实现我们使用rand()生成1000000个数。为了贴近实战项目，我们会将这1000000个数据写到文件中，然后文件中读取。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
void Swap(int* e1,int* e2)
{int temp=*e1;*e1=*e2;*e2=temp;
}
void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{int child=parent*2+1;while(child<n){if(child+1<n&&a[child]>a[child+1]){child++;}if(a[child]<a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent=child;child=parent*2+1;}else{break;}}
}
void CreatData(void)
{//system("pwd\n");int n=1000;srand((unsigned int)time(NULL));const char* file="data.txt";FILE* fout=fopen(file, "w");for(int i=0;i<n;i++){int x=rand()%1000000;fprintf(fout, "%d\n",x);}fclose(fout);
}
void PrintTopk(int k)
{const char* file="data.txt";FILE* fin=fopen(file, "r");int* kminheap=(int*)malloc(sizeof(int)*k);for(int i=0;i<k;i++){fscanf(fin,"%d",&kminheap[i]);}//建小堆，for(int i=(k-1-1)/2;i>=0;i--){AdjustDown(kminheap, k, i);}int val=0;while(!feof(fin)){fscanf(fin, "%d",&val);if(val>kminheap[0]){kminheap[0]=val;AdjustDown(kminheap, k, 0);}}for(int i=0;i<k;i++){printf("%d ",kminheap[i]);}
}
int main()
{//CreatData();PrintTopk(5);return 0;
}

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