平面最近点对（分治算法）

平面最近点对（分治算法）

文章首发于我的个人博客：欢迎大佬们来逛逛

平面最近点对（加强版） - 洛谷

给你一些点，求两点之间距离最小的两个点之间的最短距离。

分治算法是解决这类问题的关键。

Solution

首先将所有的点按照 $x$ 为第一关键字，$y$ 为第二关键字进行排序。

排序后如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pGAMATS2-1685532860870)(%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%9C%80%E8%BF%91%E7%82%B9%E5%AF%B9%EF%BC%88%E5%88%86%E6%B2%BB%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%89%204c3ad0a0ba5c4743aed687f933a3e85a/Untitled.png)]

我们可以将所有的点分治：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7vB6twgs-1685532860871)(%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%9C%80%E8%BF%91%E7%82%B9%E5%AF%B9%EF%BC%88%E5%88%86%E6%B2%BB%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%89%204c3ad0a0ba5c4743aed687f933a3e85a/Untitled%201.png)]

在这些点中我们用一条分割线来隔开，如果我们一直分割，则到最后 $l+1=r$ 的时候，就表明划分到了最后的两个点，因此直接计算两个点之间的**距离；**如果最后只有一个点，即 $l=r$ ，则我们规定此距离为无穷大。

因此我们得到两个点之间距离之后再回溯，寻找相对于这两个点有没有更优的点对出现，则更新，继续回溯。最后结束的时候，我们一定可以得到所有点的距离最短的距离。

树型图表示如下：

• 首先递归到 $[1,2]$ 发现此时只有 $p1和p2$ 两个点，因此我们计算他们的最短距离，假设为 3
• 接着进入 $[3,3]$ 此时只有一个点，因此规定距离为无穷大
• 然后我们回溯到 $[1,3]$ ，取两个孩子节点的最小值，为3；但是此时并没有结束，我们获得的 3 只是分割线两侧分别计算的最优解，我们此时还需要得到去除分割线之后的所有点的之间的最短距离，更新为 $p1和p3$ 之间的距离，为 2.
• 然后递归到 $[4,5]$ 区间，得到 $p4和p5$ 之间距离为 2.5。
• 然后回溯到 根节点 $[1,5]$ ，得到分割线两侧的点之间的最优解，为2；接着计算去除分割线之后的两点之间的最优解，得到 1.2 ，为$p3和p4$ 之间的距离

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-QEeXFBNB-1685532860871)(%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%9C%80%E8%BF%91%E7%82%B9%E5%AF%B9%EF%BC%88%E5%88%86%E6%B2%BB%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%89%204c3ad0a0ba5c4743aed687f933a3e85a/Untitled%202.png)]

如何计算去除分割线之后的区间的两点的最短距离？

我们称之为 跨中线处理

1. 首先由目标区间 $[l,r]$ 得到所有 $x$ 的差值小于 $d$ 的点集合。
2. 将这些点按照 $y$ 值排序
3. 最后直接两两之间暴力枚举 $y$ 值的差值小于 $d$ 的点对距离

---

流程

因此我们很轻松的得到分治求平面最近点对的流程：

• 首先将所有的点按照 $x$ 和 $y$ 为第一第二关键字排序。
• 然后递归分治所有的点，递归到终点时计算点的距离，回溯返回局部最优解。
• 然后计算全局最优解，即跨中线处理。

时间复杂度：$O(nlo{g}^{2}n)$

使用归并排序会降低为 $O(nlogn)$

---

完整模板代码

#include<bits/stdc++.h>
#if 0#define int long long
#endifconst int N=200010;
int n;
struct point{double x,y;
}A[N],B[N],T[N];
double get_dis(const point& a,const point& b){return std::sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double solve(int l,int r){//分治if (l==r){   //只有一个点return 1e9;}if (l+1==r){ //有两个点则算距离return get_dis(A[l],A[r]);}int mid=l+r>>1;double d=std::min(solve(l,mid),solve(mid+1,r)); //跨中线处理int k=0;for (int i=l;i<=r;i++){if (fabs(A[i].x-A[mid].x)<d){B[++k]=A[i];}}//按照y值排序std::sort(B+1,B+1+k,[&](const point& a,const point& b){return a.y<b.y;});for (int i=1;i<k;i++){//枚举两个点进行距离的更新for (int j=i+1;j<=k && B[j].y-B[i].y<d;j++){d=std::min(d,get_dis(B[i],B[j]));}}return d;
}
signed main(){std::cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++){std::cin>>A[i].x>>A[i].y;}//1. 按照x为第一关键字，y为第二关键字排序std::sort(A+1,A+1+n,[&](const point& a,const point& b){if (a.x==b.x) return a.y<b.y;return a.x<b.x;});printf("%.4lf\n",solve(1,n));return 0;
}