线性代数速览（一）行列式

行列式

行列式的本质，就是一个数值。

🌻 行列式的定义

有三种定义：1、按行展开；2、按列展开；3、即不按行，也不按列的展开。

按行展开时，行标取标准排列，列标取所有可能。
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2...j_n}(-1{)}^{N(j_1{j}_2...j_n)}{a}_{i{j}_1}{a}_{i{j}_2}...a_{i{j}_n}$$

🌼 行列式的性质

1、转置

转置不会改变行列式的值。

推论：对行成立的性质，对列也成立。
$$D^T=D$$

2、对换

对换两行，行列式的值变号

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 1& 2& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$$

3、行相等

行列式中存在两行对应元素相等时，行列式的值为0。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=0$$

4、提因子

某一行元素都乘以k，等于用k乘以D。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 4\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 2\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$$

5、行成比例

两行元素对应成比例，则行列式值为0。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 2& 4& 6\end{array}\right|=0$$

推论：某一行全为0，则行列式值为0。

6、可拆性

只拆一行，其余行保持不变。
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7+8& 2+3& 9+10\\ 8& 8& 9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 2& 9\\ 8& 8& 9\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 8& 3& 10\\ 8& 8& 9\end{array}\right|$$

7、行间相加

某一行乘以一个数，加到另一行上去，行列式的值不变。

🌷 一些定理

1、按某行展开

按一行展开，有降阶效果。例如按第 i 行展开，每一项都是元素乘以对应的代数余子式。
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+a_{i3}{A}_{i3}+...+a_{in}{A}_{in}$$

2、异乘变零

某行元素与另一行元素的代余式成绩之和等于零。

$$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+a_{i3}{A}_{j3}+...+a_{in}{A}_{jn}=0(i\ne j)$$

3、拉普拉斯

取定 k 行，有 k 行元素组成的所有 k 阶子式与代数余子式乘积之和等于D。

4、行列式相乘

同阶行列式相乘时，规则同矩阵乘法。非同阶就分别计算两个行列式的值，然后相乘好了。

🥀 行列式的计算

两种基本的计算思路：

• 化成上三角行列式
• 按某一行（零多的一行）展开

然后就是一些特殊的行列式的解法（略）。
1、对角型
$$\left|\begin{array}{ccc}x& a& a\\ a& x& a\\ a& a& x\end{array}\right|$$
2、三叉型
$$\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& b_1& b_2& b_3\\ a_1& x_2& 0& 0\\ a_2& 0& x_3& 0\\ a_3& 0& 0& x_4\end{array}\right|$$
3、范德蒙德
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2\end{array}\right|$$

🌺 克莱姆法则

用于解方程组，但计算量大一般不用。

定理：“齐次线性方程组有非零解“是”系数行列式的值为零“的充分必要条件。

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