C++--动态规划路径问题

1.不同路径 力扣

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths-ii

class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {int r=obstacleGrid.size();int l=obstacleGrid[0].size();vector<vector<int>> dp(r+1,vector<int>(l+1));dp[1][0]=1;for(int i=1;i<=r;i++){for(int j=1;j<=l;j++){if(obstacleGrid[i-1][j-1]==0){dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]; }else {dp[i][j]=0;}}}return dp[r][l];}
};

2.不同路径  力扣

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {//以某一处为结尾，创建dp表vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));//初始化dp表//dp[0][1]=1;dp[1][0]=1;for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];//递推公式}}return dp[m][n];}
};

3.礼物的最大价值  力扣

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof

class Solution {
public:int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {int m=grid.size();int n=grid[0].size();vector<vector<int>> arr(m+1,vector<int>(n+1));//初始化，求最大，所以初始化最小，vector默认初始//化为0for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1])+grid[i-1][j-1];//递推公式}}return arr[m][n];}
};

4.下降路径最小和  力扣

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-falling-path-sum
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5.最小路径和   力扣

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {int n=matrix.size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));//创建dp表，并初始化为最大值for(int i=0;i<n+2;i++) dp[0][i]=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];//递推公式}}int ret=INT_MAX;for(int i=0;i<=n;i++)ret=min(ret,dp[n][i]);//找最小return ret;}
};

class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int r=grid.size();int l=grid[0].size();vector<vector<int>> dp(r+1,vector<int>(l+1,INT_MAX));//创建dp表，并初始化，找最小，初始化为最大dp[0][1]=dp[1][0]=0;//由于有两种走法，所以要求drid[0][0]的上方和左边的为最小数0for(int i=1;i<=r;i++){for(int j=1;j<=l;j++){dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];//地推公式}}return dp[r][l];//返回值}
};

6.地下城游戏  力扣

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入：dungeon = [[0]]
输出：1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/dungeon-game

class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {int r=dungeon.size();int l=dungeon[0].size();vector<vector<int>> dp(r+1,vector<int>(l+1,INT_MAX));//创建dp表+初始化dp[r][l - 1] = dp[r - 1][l] = 1;for(int i=r-1;i>=0;i--){for(int j=l-1;j>=0;j--){dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];//填表+递推公式if(dp[i][j]<=0)dp[i][j]=1;}}return dp[0][0];//返回值}
}