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《高等数学》（同济大学·第7版） 的 详细章节目录

article 2025/6/2 23:21:39

上册
第一章 函数与极限
映射与函数

数列的极限

函数的极限

无穷小与无穷大

极限运算法则

极限存在准则 两个重要极限

无穷小的比较

函数的连续性与间断点

连续函数的运算与初等函数的连续性

闭区间上连续函数的性质

🔹 重点节：

§2-3（极限定义，梯度下降的理论基础）

§6（两个重要极限：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，后续泰勒展开用到）

§8-9（连续性，神经网络激活函数的连续性要求）

第二章 导数与微分
导数概念

函数的求导法则

高阶导数

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

函数的微分

🔹 重点节：

§1-2（导数的定义与计算，反向传播的基础）

§3（高阶导数，优化算法如牛顿法需要）

§5（微分，理解梯度下降中的“微小变化”）

第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理

洛必达法则

泰勒公式

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的极值与最大值最小值

函数图形的描绘

🔹 重点节：

§3（泰勒公式，AI中函数逼近的核心工具）

§5（极值问题，量化中的投资组合优化）

第四章 不定积分
不定积分的概念与性质

换元积分法

分部积分法

有理函数的积分

🔹 重点节：

§1-3（基本积分方法，概率密度函数积分用）

第五章 定积分
定积分的概念与性质

微积分基本公式

定积分的换元法和分部积分法

反常积分

🔹 重点节：

§2（微积分基本定理，概率统计中计算期望）

第六章 定积分的应用
定积分的元素法

几何应用（面积、体积）

物理应用（功、压力）

🔹 可略读（除非学物理金融工程）

第七章 微分方程
微分方程的基本概念

可分离变量的微分方程

齐次方程

一阶线性微分方程

可降阶的高阶微分方程

🔹 重点节：

§4（一阶线性方程，量化中的简单价格模型）

📗 下册
第八章 空间解析几何与向量代数
（与AI/量化关系较小，可跳过）

第九章 多元函数微分法及其应用
多元函数的基本概念

偏导数

全微分

多元复合函数的求导法则

隐函数的求导公式

多元函数微分学的几何应用

方向导数与梯度

多元函数的极值及其求法

🔹 核心重点：

§2-3（偏导数与全微分，神经网络权重更新的数学基础）

§7（方向导数与梯度，优化算法的核心）

§8（极值问题，量化中的组合优化）

第十章 重积分
二重积分的概念与性质

二重积分的计算法

三重积分

🔹 重点节：

§1-2（二重积分，概率中的联合分布计算）

第十一章 曲线积分与曲面积分
（可跳过，除非学物理金融）

第十二章 无穷级数
常数项级数的概念和性质

常数项级数的审敛法

幂级数

函数展开成幂级数

函数的幂级数展开式的应用

傅里叶级数

🔹 重点节：

§3-4（泰勒级数/幂级数，AI中的函数逼近）

§6（傅里叶级数，量化中的信号处理）

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