数学复习笔记 26

5.25：这题还是有点难度的。主要是出现了新的知识点，我现在还没有那么熟悉这个新的知识点。这块就是，假设一个矩阵可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，这两个向量都是非零向量，那么这个矩阵的秩等于一。这个的原理就是，矩阵的秩越乘越小，行向量的秩小于 1 ，列向量的秩也小于 1 ，那么这个矩阵的秩肯定也小于 1 ，然后非零向量的秩大于 1 ，夹逼准则，可以得出矩阵的秩等于 1 ，然后这个矩阵的迹，等于行向量乘以列向量的值，行向量乘以列向量，得到的是一个数字，这个也可以推导出来，我直接记住好了。也等于两个向量的内积。这个矩阵的特征值，一定是有 n 个，其中一个是矩阵的迹，剩下的 n - 1 个是 0。这题翻译一下就是，一行乘以一列是一个数字，这个数字是矩阵的迹，迹就是矩阵唯一的非零的特征值。（如果这个矩阵存在非零的特征值的话，嗯就是这样。）突然想起来，算法竞赛大佬，jiangly ，他天赋很高，然后训练强度也很大，刷了几千道题，做题记录的日历，像是瓷砖一样。反正就是要多训练。

5.26：我太难受了。以后难受就多刷数学题。考研数学不复盘等于白学，这个口号真的好吓人呢。高数，线代，概率论，都是越到后面越重要。二次型是一个二次齐次函数，二次型的矩阵表达，我们规定使用对称阵，因为这样可以让对应矩阵唯一。合同是说，可逆阵，转置之后乘以某个矩阵，乘以这个变换矩阵，等于另一个矩阵，另一个矩阵和某个矩阵是合同的。合同的必要条件是秩相等。线性变换之前的，写在方程左边，线性变换之后的，写在方程右边。我们讨论的都是可逆线性变换。这一章有两个骗子，第一个骗子是，前面的二次型对应的矩阵一定要是对称阵，第二个骗子是，合同变换一定要是可逆阵。难受就多刷数学题。对角化的结果是由特征值构成的。平方的前面的系数是特征值。没事的时候就刷数学题。

6.5：这个题就是简单的算，算正交化，单位化之后的特征向量，就是我们要求的正交矩阵。把一些简单的东西重复到极致就是高手。算是一个简单的计算。这里的计算题就是 12 分，大题我估计今年考试就是这个题了。就是一个流水线作业。变换矩阵一定要可逆，才可以算是合同。这个非常重要。我非常失落。失落就多刷数学题。任何二次型可以通过可逆线性变换变成标准型。考研考两种可逆线性变换，一种是正交变换，一种是配方法。二次型经过可逆线性变换之后所得到的标准型，是不唯一的。但是，正负惯性指数是不会发生改变的。怎么配方，可以让变换矩阵一定是可逆的呢。各个击破。

今天把线代学完了，感觉就是要多复盘，多回顾，刷太多题实际上不是很实际，对我来说，把学过的题吃透，把能力提升上来之后，后面强化结束再大量练习可能效果更好。