数学复习笔记 27

前言

太难受了。因为一些事情。和朋友倾诉了一下，也没啥用，几年之后不知道自己再想到的时候，会怎么考虑呢。另外，笔记还是有框架一点比较好，这样比较有逻辑感受。不然太乱了。这篇笔记是关于线代第五章，特征值的例题的我的一些理解和分析。笔记还是希望有价值一些。第一次学的时候，我是说看着网课学习的时候，还是把笔记做到讲义上面比较好，后面复盘回顾的时候再整理成电子笔记。

5.1

纯粹的概念计算。几十秒就可以算出来了。

5.2

这个题是一个经验，然后，要是换了特征向量里面的数字呢，感觉也是压力比较大的。我感觉最重要是要观察到，3 阶矩阵，乘以一个列向量，结果是一个列向量，我知道，这样描述大家都知道这个意思，但是自己解题的时候，能一下子反应过来这件事情，非常重要。还有就是还是从题目出发，不要慢慢扣概念，那没啥效率。题目会帮助我复习不熟悉的知识点的，要是不知道的时候再去看知识点。这题可能还是从特征值，特征向量的定义出发去计算的。

5.3

特征值和特征向量的计算是基本功，过程懒得描述了，讲点重点，就是特征值是单根，然后三阶，秩就是 2，可以快速计算，然后还有解特征值的时候尽量找相消为零，然后有成比例的，这种一般适合有参数的，参数成比例，不然不是很方便处理。特征向量有无数个，但是不能等于零。

5.4

这题关键点是，加快计算速度的，对角阵，上三角矩阵，下三角矩阵，主对角线上面的元素就是特征值，但是特征矩阵还是要写出来，这样方便计算特征向量。同上，其他的没啥好总结的了。

刻意练习

那个参数原来就是特征值，笑死，我还以为是啥呢，需要刻意练习的就是，第一步，消出来一个零，第二步，把成比例的两个元素消了，一般是用行消一次，用列消一次，之前高斯消元就是老老实实行变换，这里是有一定的灵活度，要观察，怎么消零之后能出现成比例的两个元素。反正一般考察三阶矩阵，也比较容易观察，消出来两个零之后行列式展开，记得判断是否要加负号。行列式，行倍加，列倍加，行列式都是不发生改变的。假设基础解析有两个向量，那么特征值的系数的描述是 “k1 k2 不同时为零”，因为特征向量不为零。

5.5

这题是，改变矩阵，看对特征值和特征向量有什么影响。非常重要，这个题。关键是这个结论。有几个不会推导，我蒙了。这题其实有点难。能否记住，还有是否会推导都有点难度。转置之后，要用特征多项式来推导，这个可能反应不过来。可以积累这个思路，判断特征值是否相等，可以看特征值的形式是否一致，假设特征多项式的形式是一致的，那么两个矩阵的特征值是一致的。还用到了，矩阵转置不影响行列式的值。常数转置直接拿出来就行，不用做任何改变，单位阵转置还是单位阵。最后一个相似矩阵，就是设这个相似的矩阵，然后代进去整体做一些变换，看了答案之后实际上非常简单，关键就是自己一个人独立思考的时候，真不一定能推导出来。

5.6

这题第二问稍微有点难。要观察到，这个形式，可以把特征值加起来，特征向量不变。总结可以稍微简洁一些。自己完全明白这个意思就可以了。

5.7

这题太秀了。我觉得完全值得一个五分题。就是，先是算特征值，可以用公式算特征值，然后矩阵变换导致特征值变换，然后行列式等于特征值的乘积。就结束了。

5.8

这里的推导可以多推导推导。

5.9

相似的充要条件只有三个，转置，可逆，一次多项式。可以积累一个反例排除 A 选项，这个反例有点意思。

5.10

绝对是一道好题，很灵活，看到代数余子式就要考虑伴随矩阵。

5.11

明天再继续写，做任何事情，都可以稍微慢一点，无所谓的，不要着急，别人催促，或者自己催促，都不能着急，思考就是一件非常非常慢的事情。慢才能稳，稳才能快。加油。

5.12

相似对角化之后，对焦矩阵就是特征值，然后改变特征向量的系数，特征值是不变的。

5.13

同一特征值的特征向量的线性组合，对应的特征值还是原来的特征值。不同特征值对应的特征向量的线性组合不是矩阵的特征向量了。

5.14

夸夸自己，这题运算量真的是爆炸了，我算到最后和答案一模一样。我果然是 150 的苗子。算矩阵的指数次方，相似对角化，然后找规律写出表达式，这个可能要做很多次，或者直接把公式记住？我感觉还是记住底层的公式，考试的时候，推导十秒钟就出来了。然后算特征值特征向量啥的，关键是算几个矩阵乘法，我真的老实了。

5.15

判断能否相似对角化，首先看特征值，假设有 n 个特征值，就可以相似对角化，假设特征值有重根，判断 k 重根是否有 k 个线性无关的特征向量，我这里把线性无关的特征向量的个数记为 s ，那么有 $s=n-r(\lambda E-A)$ ，判断一下就可以了。

5.16

没啥难的，就是计算的时候要小心一些。别出现抄错数字的情况。

5.17

很简单，计算是重点。

5.18

用线性无关的定义秒了。还是比较难的。

5.19

这题要是观察到几个列向量是两两正交的，计算可以简化很多，没观察到直接做也可以，无所谓。反正这题很可以。非常棒的一道题。

5.20

施密特正交化公式。

5.21

比较简单，但是不容易切入到这个点。感觉别搞花里胡哨的，直接做题，能做对题，就达到我的目的了。判断有没有学好，就是随便拿一个题，看能不能不借助任何外力从头写到尾并且写对。

5.22

难倒是不难，但是我化简的时候，算错了一个数字，就是除以二的时候，有一个矩阵元素没有除以二，然后其他的就还好。还有算行列式的时候，展开的时候，最好直接画一个十字，这样不容易出错，要是看差行了，就一失足成千古恨了。祛魅。祛魅非常重要。

5.23

这题稍微绕了一下，关键是要把题目信息翻译一下，就是特征向量实际上是特征其次方程的一个解。

5.24

实对称矩阵必可相似对角化。

5.25

这个，不好评价，感觉还是挺难的，虽然老师讲的时候就是一嘴带过，可能三十秒把这题讲完了。这个结论还是非常好用的。在前面某个题可以用，可以简化计算。

5.26

这题实际上非常有价值。考察得非常深刻。

后记

感觉没有很难，很有价值的 26 个题。线代拿满分，加油。