【图论】BFS中的最短路模型

算法提高课笔记

BFS可以解决边权为1的最短路问题，下面是三道相关例题

迷宫问题

原题链接

给定一个 n×n 的二维数组，如下所示：

int maze[5][5] = {0, 1, 0, 0, 0,0, 1, 0, 1, 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 1, 1, 1, 0,0, 0, 0, 1, 0,};

它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的最短路线。

数据保证至少存在一条从左上角走到右下角的路径。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含 n 个整数 0 或 1，表示迷宫。

输出格式

输出从左上角到右下角的最短路线，如果答案不唯一，输出任意一条路径均可。

按顺序，每行输出一个路径中经过的单元格的坐标，左上角坐标为 (0,0)，右下角坐标为 (n−1,n−1)。

数据范围

0 ≤ n ≤ 1000

输入样例

5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0

输出样例

0 0
1 0
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
3 4
4 4

题意

一个矩阵，0代表有路1代表没有路，问从左上角走到右下角的最短路径

思路

因为边权均为1，所以利用BFS可以求出从起点到终点的最短路，同时利用一个小技巧从终点往起点走，即可在后续输出路径时正向输出

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1010, M = N * N;typedef pair<int, int> PII;
#define ft first
#define sd secondint n;
int g[N][N];
queue<PII> q;
PII pre[N][N];void bfs(int x, int y)
{int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1}; // 代表上下左右四个移动方向q.push({x, y});memset(pre, -1, sizeof pre);while (q.size()){PII t = q.front();q.pop();for (int i = 0; i < 4; i ++ ){int a = t.ft + dx[i], b = t.sd + dy[i];if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= n) continue; // 位置不合法if (g[a][b]) continue; // 没路if (pre[a][b].ft != -1) continue; // 走过了q.push({a, b});pre[a][b] = t;}}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = 0; j < n; j ++ )cin >> g[i][j];bfs(n - 1, n - 1);PII end(0, 0);while (1){cout << end.ft << ' ' << end.sd << '\n';if (end.ft == n - 1 && end.sd == n - 1) break;end = pre[end.ft][end.sd];}
}

武士风度的牛

原题链接

农民 John 有很多牛，他想交易其中一头被 Don 称为 The Knight 的牛。

这头牛有一个独一无二的超能力，在农场里像 Knight 一样地跳（就是我们熟悉的象棋中马的走法）。

虽然这头神奇的牛不能跳到树上和石头上，但是它可以在牧场上随意跳，我们把牧场用一个 x，y 的坐标图来表示。

这头神奇的牛像其它牛一样喜欢吃草，给你一张地图，上面标注了 The Knight 的开始位置，树、灌木、石头以及其它障碍的位置，除此之外还有一捆草。

现在你的任务是，确定 The Knight 要想吃到草，至少需要跳多少次。

The Knight 的位置用 K 来标记，障碍的位置用 * 来标记，草的位置用 H 来标记。

这里有一个地图的例子：

             11 | . . . . . . . . . .10 | . . . . * . . . . . 9 | . . . . . . . . . . 8 | . . . * . * . . . . 7 | . . . . . . . * . . 6 | . . * . . * . . . H 5 | * . . . . . . . . . 4 | . . . * . . . * . . 3 | . K . . . . . . . . 2 | . . . * . . . . . * 1 | . . * . . . . * . . 0 ----------------------1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 

The Knight 可以按照下图中的 A,B,C,D… 这条路径用 5 次跳到草的地方（有可能其它路线的长度也是 5）：

             11 | . . . . . . . . . .10 | . . . . * . . . . .9 | . . . . . . . . . .8 | . . . * . * . . . .7 | . . . . . . . * . .6 | . . * . . * . . . F<5 | * . B . . . . . . .4 | . . . * C . . * E .3 | .>A . . . . D . . .2 | . . . * . . . . . *1 | . . * . . . . * . .0 ----------------------10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

注意： 数据保证一定有解。

输入格式

第 1 行： 两个数，表示农场的列数 C 和行数 R。

第 2…R+1 行: 每行一个由 C 个字符组成的字符串，共同描绘出牧场地图。

输出格式

一个整数，表示跳跃的最小次数。

数据范围

1 ≤ R , C ≤ 150

输入样例

10 11
..........
....*.....
..........
...*.*....
.......*..
..*..*...H
*.........
...*...*..
.K........
...*.....*
..*....*..

输出样例

5

题意

图中*代表没有路，.代表有路，求以日字型从K走到H的最短路

思路

dx dy改成向八个不同方向移，其余思路一样，第一次遍历到H时输出即可

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 155, M = N * N;typedef pair<int, int> PII;
#define ft first
#define sd secondint n, m;
char g[N][N]; // 存图
queue<PII> q;
int dist[N][N]; // 记录距离+判重int bfs()
{int dx[8] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};int dy[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};int x, y;for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = 0; j < m; j ++ )if (g[i][j] == 'K')x = i, y = j;q.push({x, y});memset(dist, -1, sizeof dist);dist[x][y] = 0;while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();for (int i = 0; i < 8; i ++ ){int a = t.ft + dx[i], b = t.sd + dy[i];if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue; // 位置不合法if (g[a][b] == '*') continue; // 没路if (dist[a][b] != -1) continue; // 已遍历if (g[a][b] == 'H') return dist[t.ft][t.sd] + 1; // 走到终点dist[a][b] = dist[t.ft][t.sd] + 1;q.push({a, b});}}return -1;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> m >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];cout << bfs() << '\n';
}

抓住那头牛

原题链接

农夫知道一头牛的位置，想要抓住它。

农夫和牛都位于数轴上，农夫起始位于点 N，牛位于点 K。

农夫有两种移动方式：

1. 从 X 移动到 X−1 或 X+1，每次移动花费一分钟
2. 从 X 移动到 2∗X，每次移动花费一分钟

假设牛没有意识到农夫的行动，站在原地不动。

农夫最少要花多少时间才能抓住牛？

输入格式

共一行，包含两个整数N和K。

输出格式

输出一个整数，表示抓到牛所花费的最少时间。

数据范围

0 ≤ N , K ≤ 105

输入样例

5 17

输出样例

4

题意

要求从N到K，每次只能进行一个操作：向右一步 / 向左一步 / 坐标变为现在的两倍，求最短路

思路

这一题刚开始看第一反应是dp，但后来发现BFS最短路来做也很简单

每次更新所有该轮操作可以到达的位置

无需更新负值，因为只能通过-1到达负值，而从负值到正值只能通过+1，二者相互抵消，不可能是最短路

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 100010;int n, k;
queue<int> q;
int dist[N];int bfs()
{memset(dist, -1, sizeof dist);dist[n] = 0;q.push(n);while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();if (t == k) return dist[k]; // 已到终点// 更新三个距离if (t + 1 < N && dist[t + 1] == -1){dist[t + 1] = dist[t] + 1;q.push(t + 1);}if (t - 1 < N && dist[t - 1] == -1){dist[t - 1] = dist[t] + 1;q.push(t - 1);}if (t * 2 < N && dist[t * 2] == -1){dist[t * 2] = dist[t] + 1;q.push(t * 2);}}return -1;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> n >> k;cout << bfs() << '\n';
}