【题解】[ABC312E] Tangency of Cuboids
少见的 at 评分 \(2000+\) 的 ABC E 题，非常巧妙的一道题。
特别鸣谢：@dbxxx 给我讲解了他的完整思路。
题目链接
ABC312E - Tangency of Cuboids
题意概述
给定三维空间中的 \(n\) 个长方体，每个长方体以其一条体对角线的两个端点的坐标形式给出，即对于每一个长方体 \(i\)，给定其体对角线端点的坐标 \((x_{i,1},y_{i,1},z_{i,1})\) 和 \((x_{i,2},y_{i,2},z_{i,2})\)。
要求对于给定的每一个长方体，求出给定的其它长方体中，与其共享一个面的长方体数量。
具体地说，对于每个 \(i(1 \le i \le n)\)，找到 \(1≤j≤n\) 且 \(j≠i\) 的 \(j\) 的数量，使得第 \(i\) 个长方体和第 \(j\) 个长方体的表面有一个正面积的交集。
题目保证每个长方体两两不交，即对于任意两个长方体，它们的交集体积为 \(0\)。
数据范围
- \(1\le n \le 10^5\)
- \(0 \le x_{i,1}<x_{i,2}\le 100\)
- \(0 \le y_{i,1}<y_{i,2}\le 100\)
- \(0 \le z_{i,1}<z_{i,2}\le 100\)
思路分析
\(n\) 的范围很大，但是观察长方体体对角线端点的坐标范围只有 \(100\)，容易想到最终的时间复杂度应该是 \(100^3\) 或者 \(100^4\)，启示我们要处理单位小正方体的信息。
注：单位小正方体指的是坐标范围内棱长为 \(1\) 的正方体。
可以考虑将题目中所有已知的长方体，都分解成多个单位小正方体处理。即，对于长方体 \(i\)，我们把这个长方体中包含所有单位小正方体都染色成 \(i\)。
换句话说，我们定义体对角线端点坐标为 \((i,j,k)\) 和 \((i+1,j+1,k+1)\) 的单位小正方体的坐标为 \((i,j,k)\)，\(col_{i,j,k}\) 表示坐标为 \((i,j,k)\) 的单位小正方体被染成的颜色。那么对于体对角线端点坐标为 \((x_{t,1},y_{t,1},z_{t,1})\) 和 \((x_{t,2},y_{t,2},z_{t,2})\) 的长方体 \(t\)，就将所有坐标为 \((i,j,k)\)，其中 \(x_{t,1}\le i <x_{t,2},y_{t,1} \le j < y_{t,2},z_{t,1} \le k < z_{t,2}\) 的单位小正方体都染成 \(t\)，即让 \(col_{i,j,k}=t\)。
注意：这里 \(i,j,k\) 条件是 \(x_{t,1}\le i <x_{t,2},y_{t,1}\le j<y_{t,2},z_{t,1} \le k <z_{t,2}\)，而不是 \(x_{t,1}\le i \le x_{t,2},y_{t,1}\le j \le y_{t,2},z_{t,1} \le k \le z_{t,2}\)。因为当 \(i=x_{t,2}\) 或 \(j=y_{t,2}\) 或 \(k=z_{t,2}\) 时，对应的单位小正方体已经不属于这个长方体内了。所以必须是小于，不能是小于等于。
接下来，我们枚举坐标范围(即 \([0,100)\) 内)的每一个单位小正方体的坐标 \((i,j,k)\)，那么如果这个小正方体和它相邻小正方形，即 \((i+1,j,k)\) 或 \((i,j+1,k)\) 或 \((i,j,k+1)\) 颜色不同，则说明它们所在的长方体有公共面。那么这样的方法就可以找到所有的有公共面长方体。
我们考虑对于每一个长方体开一个 set，如果长方体 \(i\) 与长方体 \(j\) 有公共面。那么就往 \(i\) 对应的 set 里扔一个 \(j\)，同时往 \(j\) 对应的 set 里面扔一个 \(i\)，由于 set 无重复元素，这样顺便也完成了去重。那么最后输出 \(1\) 到 \(n\) 的每个正方体 \(i\) 的 set 的 size 就好了。
注意：如果题目不保证给定长方体两两不交，就不能这么做了。因为如果有交，同一个单位小正方形就可以同时被染成两种颜色，而这个做法必须保证染色的唯一性。
时间复杂度 \(O(100^3 \log n)\)(set 是 \(\log n\) 的复杂度)。
代码实现
//E
//The Way to The Terminal Station…
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxx=105;
int X1[maxn],X2[maxn],Y1[maxn],Y2[maxn],Z1[maxn],Z2[maxn];
int col[maxx][maxx][maxx];set<int>s[maxn];inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}void work(int xx,int xy,int yx,int yy,int zx,int zy,int t)
{for(int i=xx;i<xy;i++){for(int j=yx;j<yy;j++){for(int k=zx;k<zy;k++){col[i][j][k]=t;}}}
}int main()
{int n=read();for(int i=1;i<=n;i++){X1[i]=read();Y1[i]=read();Z1[i]=read();X2[i]=read();Y2[i]=read();Z2[i]=read();work(X1[i],X2[i],Y1[i],Y2[i],Z1[i],Z2[i],i);}for(int i=0;i<100;i++){for(int j=0;j<100;j++){for(int k=0;k<100;k++){if(col[i][j][k]!=col[i+1][j][k]){if(col[i][j][k]&&col[i+1][j][k]){s[col[i][j][k]].insert(col[i+1][j][k]);s[col[i+1][j][k]].insert(col[i][j][k]);}}if(col[i][j][k]!=col[i][j+1][k]){if(col[i][j][k]&&col[i][j+1][k]){s[col[i][j][k]].insert(col[i][j+1][k]);s[col[i][j+1][k]].insert(col[i][j][k]);}}if(col[i][j][k]!=col[i][j][k+1]){if(col[i][j][k]&&col[i][j][k+1]){s[col[i][j][k]].insert(col[i][j][k+1]);s[col[i][j][k+1]].insert(col[i][j][k]);}}}}}for(int i=1;i<=n;i++)cout<<s[i].size()<<'\n';return 0;
}
)
