C++二叉搜索树剖析

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🍇二叉搜索树概念

二叉搜索树，又称为二叉排序树，是一种特殊的二叉树。它要么是一棵空树，要么具有以下性质：

1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；
2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值；
3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树的特点是可以快速地查找、插入和删除节点，因为它的节点按照大小关系排列，形成了一种有序结构。它常被用于实现关联数组、集合等数据结构，也是许多其他算法的基础。

🍈二叉搜索树查找

二叉搜索树的查找可以通过以下步骤进行：

• 从根节点开始比较，将待查找的值与根节点的值进行比较，如果相等，则返回该节点；如果待查找的值比根节点的值大，则往右子树走查找，反之则往左子树走查找。

• 重复上述步骤，直到找到待查找的值或者走到空节点仍未找到。如果走到空节点仍未找到，则说明该值不存在于二叉搜索树中。

由于二叉搜索树的节点按照大小关系排列，因此查找的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉搜索树中节点的个数。

🍉二叉搜索树的插入

二叉搜索树的插入可以通过以下步骤进行：

1. 如果二叉搜索树为空，则直接将新节点作为根节点，赋值给root指针。

2. 如果二叉搜索树不为空，则按照二叉搜索树的性质，从根节点开始比较待插入节点的值和当前节点的值的大小关系，如果待插入节点的值比当前节点的值小，则往左子树走查找，如果左子树为空，则将待插入节点作为当前节点的左子节点；

3. 如果待插入节点的值比当前节点的值大，则往右子树走查找，如果右子树为空，则将待插入节点作为当前节点的右子节点。

4. 如果待插入节点的值与当前节点值相等，表示已经存在这个值，插入失败。

5. 重复上述步骤，直到找到合适的插入位置为止。

二叉搜索树的插入时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉搜索树中节点的个数。

🍊二叉搜索树的删除

二叉搜索树的删除可以通过以下步骤进行：

首先查找待删除的节点是否在二叉搜索树中，如果不存在，则直接返回；否则，进入下一步操作。

根据待删除节点的情况，进行以下处理：

1. 如果待删除节点是叶子节点，则直接删除该节点即可。

2. 如果待删除节点只有左子树或者右子树，则将待删除节点的父节点指向待删除节点的子节点，然后删除待删除节点。

3. 如果待删除节点既有左子树又有右子树，则需要找到它的中序遍历下的后继节点（即右子树中的最小节点），将后继节点的值赋给待删除节点，然后将待删除节点的右指向后继节点的右，然后删除后继节点。

重复上述步骤，直到完成待删除节点的删除。
需要注意的是，二叉搜索树的删除操作可能会影响树的结构，因此需要对树进行平衡操作，以保证二叉搜索树的性质不被破坏。

二叉搜索树的删除时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉搜索树中节点的个数。

🍍二叉搜索树的查找、插入、删除实现

1. 二叉搜索树节点的定义

template<class k>
class BStreeNode
{
public:BStreeNode(const k& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}k _key;BStreeNode* _left;BStreeNode* _right;
};

二叉搜索树节点的定义有以下成员：

• key：表示节点的关键码，用于比较节点的大小关系，通常是一个模板类型，可以是整型、字符型、字符串、自定义类型等。

• left：表示节点的左子节点，通常是一个指向BStreeNode类型的指针，如果节点没有左子节点，则该指针为空指针nullptr。

• right：表示节点的右子节点，通常是一个指向BStreeNode类型的指针，如果节点没有右子节点，则该指针为空指针nullptr。

2. 二叉搜索树的定义

template<class k>
class BStree
{typedef BStreeNode<k> Node;
public:Node* find(const k& key);bool insert(const k& key);bool erase(const k& key);	void InOrder();
private:Node* _root = nullptr;void _InOrder(const Node* root);
};

二叉搜索树的定义包括以下成员：

• Node：表示二叉树的节点，通常是一个模板类，包括节点的关键码、左子节点、右子节点等成员。

• find()：用于在二叉树中查找指定关键码的节点，如果找到，则返回该节点的指针；否则返回空指针nullptr。

• insert()：用于向二叉树中插入一个新节点，如果插入成功，则返回true；否则返回false。

• erase()：用于从二叉树中删除指定关键码的节点，如果删除成功，则返回true；否则返回false。

• InOrder()：用于对二叉树进行中序遍历，按照节点的关键码从小到大输出节点的值。

3. 二叉搜索树查找实现

	Node* find(const k& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)			cur = cur->_right;					else if (cur->_key > key)cur = cur->_left;elsereturn cur;}return nullptr;}

二叉搜索树的查找操作可以通过比较节点的键值来实现。从根节点开始，若当前节点的键值小于要查找的键值，则继续在右子树中查找；若当前节点的键值大于要查找的键值，则继续在左子树中查找；若当前节点的键值等于要查找的键值，则返回当前节点。

上述代码实现了二叉搜索树的查找操作。从根节点开始，通过循环遍历整棵树，比较节点的键值，根据大小关系移动到左子树或右子树中，直到找到要查找的节点或遍历到叶子节点为止。如果找到了要查找的节点，则返回该节点指针；否则返回空指针。

4. 二叉搜索树插入实现

	bool insert(const k& key){//空树if (_root == nullptr){Node* newnode = new Node(key);_root = newnode;return true;}//不为空Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){parent = cur;if (cur->_key < key)cur = cur->_right;else if (cur->_key > key)cur = cur->_left;elsereturn false;}Node* newnode = new Node(key);parent->_key > key ? parent->_left = newnode : parent->_right = newnode;return true;}

二叉搜索树的插入操作可以通过比较节点的键值来实现。从根节点开始，若要插入的键值小于当前节点的键值，则继续在左子树中插入；若要插入的键值大于当前节点的键值，则继续在右子树中插入；若要插入的键值等于当前节点的键值，则返回插入失败。

上述代码实现了二叉搜索树的插入操作。首先判断树是否为空，如果为空，则直接将新节点作为根节点；否则，从根节点开始循环遍历整棵树，比较节点的键值，根据大小关系移动到左子树或右子树中，直到找到合适的插入位置或遍历到叶子节点为止。如果找到了合适的插入位置，则创建新节点并插入到该位置；否则返回插入失败。

5. 二叉搜索树删除的实现

	bool erase(const k& key){//查找该节点及其父亲节点Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}				elsebreak;}if (cur == nullptr)return false;//为叶子节点else if (cur->_left == nullptr && cur->_right == nullptr)delete cur;//只有一个孩子else if ((cur->_left == nullptr && cur->_right) || (cur->_left && cur->_right == nullptr)){if (parent->_left == cur){cur->_left == nullptr ? parent->_left = cur->_right : parent->_left = cur->_left;}else{cur->_left == nullptr ? parent->_right = cur->_right : parent->_right = cur->_left;}delete cur;}//有两个孩子else if (cur->_left && cur->_right){Node* del = cur->_right;//找右子树最小节点while (del->_left){del = del->_left;}//赋值cur->_key = del->_key;//待删除节点的右指向最小节点右cur->_right = del->_right;//删除最小节点delete del;}return true;}

二叉搜索树的删除操作比较复杂，需要考虑删除节点的情况分为三种：

• 待删除节点为叶子节点：直接删除该节点即可。

• 待删除节点只有一个孩子：将该节点的孩子节点接到该节点的父节点上，然后删除该节点。

• 待删除节点有两个孩子：找到该节点的右子树中的最小节点，将其键值赋值给待删除节点，然后删除最小节点。

上述代码实现了二叉搜索树的删除操作。首先从根节点开始循环遍历整棵树，查找待删除节点及其父节点。如果没有找到待删除节点，则返回删除失败；否则根据待删除节点的情况进行不同的操作。如果待删除节点为叶子节点，则直接删除该节点；如果待删除节点只有一个孩子，则将孩子节点接到父节点上，然后删除该节点；如果待删除节点有两个孩子，则找到右子树中的最小节点，将其键值赋值给待删除节点，然后删除最小节点。最后返回删除成功。

6. 二叉搜索树中序遍历实现

	void _InOrder(const Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ' ';_InOrder(root->_right);}

二叉搜索树的中序遍历是指按照节点键值的大小关系，先遍历左子树，再遍历根节点，最后遍历右子树。因为二叉搜索树的中序遍历结果是一个有序序列，因此可以使用中序遍历来实现对二叉搜索树的排序操作。

上述代码实现了二叉搜索树的中序遍历操作。首先判断当前节点是否为空，如果为空则返回；否则按照左子树、根节点、右子树的顺序递归遍历整棵树，并输出节点的键值。

🍋二叉搜索树的应用

• K模型：K模型是指只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索的值。例如，可以以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树，在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

• KV模型：KV模型是指每一个关键码key都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见，例如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可以快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。二叉搜索树可以用来实现KV模型，以key作为二叉搜索树的节点，value作为节点的值，通过比较key的大小关系来实现快速查找、插入和删除节点的操作。

将上述二叉搜索树修改为KV模型：

• 二叉树节点定义示例代码

template<class K, class V>
class BStreeNode
{
public:BStreeNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}K _key;V _value;BStreeNode* _left;BStreeNode* _right;
};

• 中序输出代码：

    void _InOrder(const Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}

• 测试代码：

void test1()
{BStree<string, string> tree;tree.insert("apple", "苹果");tree.insert("banana", "香蕉");tree.insert("orange", "橘子");tree.insert("peach", "桃子");tree.insert("pear", "梨");tree.InOrder();
}

运行结果：

🥭二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都需要先进行查找操作，因此二叉搜索树的查找效率代表了二叉搜索树各个操作的性能。对于有n个节点的二叉搜索树，如果每个元素查找的概率相等，那么二叉搜索树的平均查找长度是节点在二叉搜索树的深度的函数，即节点越深，则比较次数越多。

需要注意的是，对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能会得到不同结构的二叉搜索树。因为二叉搜索树的结构取决于插入顺序，如果插入的顺序不同，可能会导致树的结构不同，进而影响树的查找效率。因此，在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的插入顺序，以获得更好的性能。

最优情况下，二叉搜索树的高度为 log₂N，每一次查找可以将搜索范围缩小一半，因此平均比较次数为 log₂N。

最差情况下，二叉搜索树的高度为 (N-1)，每一次查找只能将搜索范围缩小一层，因此平均比较次数为 (1+2+…+N)/N = (N+1)/2，约等于 N/2。这种情况发生在插入的数据是有序的时候，导致二叉搜索树退化为链表。此时可以使用平衡二叉树来解决这个问题。

🍓总结

二叉搜索树是一种非常常见的数据结构，它是一棵二叉树，其中每个节点都包含一个键值，且左子树的所有节点的键值小于当前节点的键值，右子树的所有节点的键值大于当前节点的键值。这种特定的结构使得二叉搜索树能够快速地进行查找、插入、删除等操作。

在实际应用中，二叉搜索树被广泛使用，如在数据库索引、编译器符号表、路由表等领域。对于一个包含n个节点的二叉搜索树，其查找、插入、删除的时间复杂度均为O(logn)，这使得它在处理大数据量时具有很高的效率。

但是，二叉搜索树也存在一些问题。当数据集合中的元素是随机分布的时，二叉搜索树的性能是非常好的。但是，当数据集合中的元素是有序的时，二叉搜索树的性能会退化为O(n)，这就是所谓的“不平衡问题”。为了解决这个问题，我们可以使用平衡二叉树、红黑树等数据结构来优化二叉搜索树。

此外，二叉搜索树在插入重复元素时也存在问题。如果我们简单地将重复元素插入到二叉搜索树中，那么查找和删除操作就会变得非常麻烦。为了解决这个问题，我们可以使用多重集合、哈希表等数据结构来处理重复元素。

总之，二叉搜索树是一种非常重要的数据结构，它能够快速地进行查找、插入、删除等操作，但是在实际应用中需要注意避免和解决一些问题，如不平衡问题、重复元素问题等。

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