平面及其方程

一、曲面和交线的定义

空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面$S$与三元方程：
$$F(x,y,z)=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
有下述关系：

1. 曲面 $S$ 上任一点的坐标都满足方程$(1)$
2. 不在曲面$S$上的点坐标都不满足方程$(1)$

那么，方程$(1)$就叫做曲面$S$的方程，而曲面$S$就叫做方程$(1)$的图形。

上面的概念其实就是在描述数学表达式恰好能表达曲面，不多也不少。那么空间曲线又是如何定义的？

空间曲线可以看作两个曲面 $S1$ $S2$ 的交线，设曲面的交线为 $C$，则交线可以应该满足方程组：
$$\{\begin{array}{r}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

二、平面方程

2.1 点法式方程

确定平面中的一点及其方向就是点法式方程的基本思想。平面中的点没有什么特殊的地方，就是属于平面上的一点， 那么方向应该如何表达合适呢？答案是，平面法向量。平面法向量是一个非零向量[1]垂直与待表示的平面，由线面垂直的定义，在平面上任意向量均与该平面的法向量垂直。

因为过一点有且仅有一条与平面垂直的直线。假设我们在平面 $\Pi$ 上有一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$ ，这个平面被唯一确定，根据定义：
$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$$
因为$\vec{n}=(A,B,C)$ ，$\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$所以有：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
这就是平面任意一点$(x_t,y_t,z_t)$ 都满足的方程，这就是平面的点法式方程，点指的是平面上一点，法指的是非零法向量。

2.2 平面的一般方程

对于一个三元一次方程表示：
$$Ax+By+Cz+D=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
任取满足该方程的一个点，代入方程：
$$A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0\text{\hspace{1em}(4)}$$
式子$(3)-(4)$：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(5)}$$
我们知道$(5)$是一个点法式方程。所以：

• 任意 $x,y,z$都属于平面
• 不属于平面上的点都不满足$(5)$

从定义上看，方程$(3)$：

• 任意 $x,y,z$都属于平面
• 不属于平面上的点都不满足

这就意味着，$Ax+By+Cz+D=0$ 是一个平面方程。它有以下结论：

• 一般方程的 $x,y,z$ 系数其实就是一个法向量
• 如果 $D=0$ 过原点
• 如果 $A=0$ 法向量为 $\vec{n}=(0,B,C)$ ，法向量垂直 $X$ 轴，对应平面平行或包含 $X$ 轴
• 如果 $B=0$ 法向量为 $\vec{n}=(A,0,C)$ ，法向量垂直 $Y$ 轴，对应平面平行或包含 $Y$ 轴
• 如果 $C=0$ 法向量为 $\vec{n}=(A,B,0)$ ，法向量垂直 $Z$ 轴，对应平面平行或包含 $Z$ 轴
• 如果 $A=B=0$ 法向量为 $\vec{n}=(0,0,C)$ ，法向量同时垂直 $X,Y$轴，也就是垂直于对应的$XOY$平面，对应的平面平行或者包含$XOY$
• 如果 $B=C=0$ 法向量为 $\vec{n}=(A,0,0)$ ，法向量同时垂直 $Y,Z$轴，也就是垂直于对应的$YOZ$平面，对应的平面平行或者包含$YOZ$
• 如果 $A=0=C$ 法向量为 $\vec{n}=(0,B,0)$ ，法向量同时垂直 $X,Z$轴，也就是垂直于对应的$XOZ$平面，对应的平面平行或者包含$XOZ$

一大串文字，其实总结一句话，看法向量坐标，如果对应分量为0，那么法向量垂直于对应分量，对应平面平行或者包含对应分量。

三、两平面的夹角

从几何上看，平面的夹角是小于或者等于90度的，但在解析几何中，我们更加倾向于用法向量之间的夹角来定义，用向量夹角表示存在一个问题，向量夹角的范围是$[0,\pi ]$，应该特别注意。

设平面 ${\Pi }_1$ 和 ${\Pi }_2$ 的法向量依次为 ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$ ，则平面的夹角 $\theta$ 应为：$(\widehat{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})$或者$(\widehat{-{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})=\pi -(\widehat{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})$，选两个中的锐角或者直角，所以： $\cos \theta =|(\widehat{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2})|$。用向量计算公式则为：
$$\cos \theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\text{\hspace{1em}(6)}$$
从向量垂直和平行的充分必要条件立刻可推得：

• ${\Pi }_1、{\Pi }_2$ 垂直相当于 $A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$
• ${\Pi }_1、{\Pi }_2$ 平行或重合相当于 $\frac{A_1}{A_2}+\frac{B_1}{B_2}+\frac{C_1}{C_2}=0$

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[1] 主要是你是零向量也没啥意思，什么信息都给不了