【Python】缺失值处理和拉格朗日插值法（含源代码实现）

一、前言

对于含有缺失值的数据集，如果通过删除小部分记录达到既定的目标，那么删除含有缺失值的记录的方法是最有效的。然而，这种方法也有很多问题，删除缺失值的同时也会损失一定的信息，对于那些数据集较小的来说这是影响很大的。

所以可以对这些缺失值进行填充。

最简单的处理原则：

1. 缺失值少于20%

连续变量使用均值或者中位数填补；

分类变量不需要填补，单算一类即可，或者用众数填补。

2. 缺失值在20%-80%

填补方法同上；

另外每个有缺失值的变量生成一个指示哑变量，参与后续的建模。

3. 缺失值大于80%

每个有缺失值的变量生成一个指示哑变量，参与后续的建模，原始变量不使用。

也可以用最近邻插补法，可以在数据集中寻找与该样本除掉缺失属性最相近的样本，用相似的样本的属性值代替，求相似度可以采用聚类方法。

其次还有回归方法和插值法，回归方法及时建立回归模型，用已有的数据训练模型然后再预测。

插值法就有朗日插值法和牛顿插值法，这里就介绍一下拉格朗日插值法。

二、理论知识

下面是拉格朗日函数：
$$f(x)=\sum _{i=1}^{i=3}{y}_i\ast \prod _{i\ne j}^{1\le j\le 3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
如何得到这个函数的，分为下面几步：

三个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$可以确定一条二次多项式的函数。这需要把三个点带入多项式然后解出各个系数。

但是拉格朗日的这个解法就不一样了。

第一步构建了一个函数：
$$f_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}$$
这个函数在$x=x_1$时，值为1；$x=x_2$时，值为0；$x=x_3$时，值为0。

同理分别构建：
$$f_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}$$
这个函数在$x=x_2$时，值为1；$x=x_1$和$x=x_3$时，值为0。
$$f_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$$
这个函数在$x=x_3$时，值为1；在$x=x_1$和$x=x_2$时，值为0。

那么$f(x)$就可以写为：
$$f(x)=y_1{f}_1(x)+y_2{f}_2(x)+y_3{f}_3(x)$$

写为：
$$f_i(x)=\prod _{i\ne j}^{1\le j\le 3}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$$

得到拉格朗日函数。

三、代码实现

from scipy.interpolate import lagrange
def lag_fill(df, i, k):r = 0 if (i - k) < 0 else (i - k)l = len(df.index) if (i + 1 + k) > len(df.index) else (i + 1 + k)y = df.loc[list(range(r, i)) + list(range(i + 1, l))]for j in y.index:if y.isnull().loc[j]:y.drop(index = j, inplace = True)x = y.indexlag = lagrange(x.values, y.values)return lag(i)

index = np.array(data['Age'][data['Age'].isnull()].index)
nums = []
for i in index:num = int(lag_fill(data['Age'], i, 5))nums.append(num)

df = data['Age'].copy()
index = np.array(df[df.isnull()].index) # 缺失值的索引
for i in range(len(index)):df.loc[index[i]] = nums[i]
df.isnull().sum()

结果为：

0

最后替换一下：

data['Age'] = df
data['Age'].isnull().sum()