【左神算法刷题班】第16节：累加和为k的数组、逆序对问题、约瑟夫环问题

题目1

给定一个有正、有负、有0的数组arr，

给定一个整数k，

返回arr的子集是否能累加出k

1）正常怎么做？

2）如果arr中的数值很大，但是arr的长度不大，怎么做？

问题 1）思路

如果数组中只有正数，那么这就是一个普通的背包问题，

递归函数用 process(i,j) 表示从0到i随便选，能否选出累加和为j的数字。

在 process 内部，可以选i，或者不选i。

• 如果不选 i，就看 process(i-1, j) 是否返回 true
• 如果选 i，就看 process(i-1, j-arr[i]) 是否返回 true

将递归转换成 dp，就是dp[i][j]表示从0到i随便选，能否选出累加和为j的数字。

dp 表的难点在于，数组中有负数，需要将下标做一个平移。

问题 2）思路

我的思路是，当 arr 数值很大的时候，可以用 暴力递归 + HashMap 来做缓存表，这样只需要计算那些用得到的结果，而不需要写满整个 arr 数据范围的结果。

左神的思路是，假设 arr 的长度是 40，用分治，左边 20 个数用暴力算出所有可能的累加和（2^20=1048576），右边也得到 1048576 个结果。（一般都是二分之后再整合，你要分成三部分也可以，但整合的时候就会复杂一些）

如果单独用左部分，或者单独用右部分，就能够得到目标累加和的话，直接返回就可以了。如果不行，要考虑左右合并的情况。

题目2

给定一个正数数组arr，

返回arr的子集“不能累加出的“最小正数

1）正常怎么做？

2）如果arr中肯定有1这个值，怎么做？

问题 1）思路

和题目 1 很像，而且所有的数都是正数，可以看成是一个普通的背包问题。

process(i,j) 表示从0到i随便选，能否选出累加和为j的数字。

在 process 内部，可以选i，或者不选i。

• 如果不选 i，就看 process(i-1, j) 是否返回 true
• 如果选 i，就看 process(i-1, j-arr[i]) 是否返回 true

最后从 j=1 开始 j++，一直找到第一个 process(i, j) 返回为 false 的 j，就是最终结果。

问题 2）思路

其实 问题1）的最优思路就是，如果没有 1，则返回答案 1。如果有 1，则用下面的思路。

先排序，排序后，左边第 0 位置一定是 1。

定义变量 range=1，含义为，从 1-range 范围上的正数都能累加出来。下面我们来分析 range 的扩充条件：

如果 1 位置的数还是 1，则 range 变成 2。

如果 2 位置的数是 2，则 range 变成 4。

普遍的，我来到 i 位置发现 arr[i]=17，range=100，代表从 0 到 i-1 位置能够得到 1~100 里的所有数，由此可以推断，加上 i 位置之后，可以得到 1~117 所有的数。

普遍的，我来到 i 位置发现 arr[i]=101，range=100，代表从 0 到 i-1 位置能够得到 1~100 里的所有数，由此可以推断，加上 i 位置之后，可以得到 1~201 所有的数。

但，普遍的，我来到 i 位置发现 arr[i]=102，range=100，代表从 0 到 i-1 位置能够得到 1~100 里的所有数，但以后怎么也得不到 101 了。

所以，range 扩充的条件是：

• 如果 arr[i] > range+1，那么以后就再也得不到 range+1 的累加和了，直接返回 range+1
• 否则，range 可以扩充为 range + arr[i]

题目3

Leetcode原题：

https://leetcode.com/problems/patching-array/

思路

我们先举一个极端的例子，假设 nums 为空，n=1000，我们想要生成从 1~1000 之间所有的数。

思路和题目2很像。用 range 表示当前能够得到的最大累加和。

首先我肯定需要 1，这样就能得到 [1,1] 区间所有的数，range = 1。

然后我需要 2，就可以得到 [1, 1+2] 区间所有的数，range = 3。

然后我需要 4，就可以得到 [1, 3+4] 区间所有的数，range = 7。

然后我需要 8，…

然后，我们忘掉前面的例子，举一个普遍的例子。

假设 nums=[4, 5, 17, 39]，n=83

首先我们来看 nums 中的第一个数字 4，我们要先能够得到 4 之前所有的数字，所以根据前面的分析，需要加入 1,2，得到 range=7

在此基础上，来到 nums 中的第二个数字 5，更新range为 7+5=12

在此基础上，来到 nums 中的第三个数字 17，不能直接更新 range，需要想办法得到 13 14 15 16。所以需要加入 range+1 = 13，并且更新 range 为 12+13=25。然后用 17 更新 range=25+17=42

在此基础上，来到 nums 中的第四个数字39，更新range为42+39=81

整个数组遍历结束了，而最终目标83还有距离，所以需要再补一个range+1=82，就能得到1~83范围内所有的数字。

题目4

给定整数power，给定一个数组arr，给定一个数组reverse，含义如下：

arr的长度一定是2的power次方

reverse中的每个值一定都在0~power范围。

例如power = 2, arr = {3, 1, 4, 2}，reverse = {0, 1, 0, 2}

任何一个在前的数字可以和任何一个在后的数组，构成一对数

可能是升序关系、相等关系或者降序关系

比如arr开始时有如下的降序对：(3,1)、(3,2)、(4,2)，一共3个

接下来根据reverse对arr进行调整：

reverse[0] = 0, 表示在arr中，划分每1(2的0次方)个数一组，然后每个小组内部逆序，那么arr变成[3,1,4,2]，此时有3个逆序对

reverse[1] = 1, 表示在arr中，划分每2(2的1次方)个数一组，然后每个小组内部逆序，那么arr变成[1,3,2,4]，此时有1个逆序对

reverse[2] = 0, 表示在arr中，划分每1(2的0次方)个数一组，然后每个小组内部逆序，那么arr变成[1,3,2,4]，此时有1个逆序对

reverse[3] = 2, 表示在arr中，划分每4(2的2次方)个数一组，然后每个小组内部逆序，那么arr变成[4,2,3,1]，此时有4个逆序对

所以返回[3,1,1,4]，表示每次调整之后的逆序对数量

输入数据状况：

power的范围[0,20]

arr长度范围[1,10的7次方]

reverse长度范围[1,10的6次方]

思路

假设我们有 8 个数，arr = [2 1 7 5 3 4 6 8]

当以 2 个数为一组的时候，我们假设每个组内逆序对的个数之和是 a，正序对个数之和是 b

注意，每一个组内的逆序对，第一个数要来自组内左侧，第二个数要来自组内右侧。
这样，在每个组中逆序对相加，求总的逆序对数量的时候，才不会重复计算。2个一组的时候，[2 | 1] [7 | 5] [3 | 4] [6 | 8]
其中，正序对包括 (3,4),(6,8)，正序对个数为2.
其中，逆序对包括 (2,1),(7,5)，逆序对个数为2.4个一组的时候，[2 1 | 7 5][3 4 | 6 8]
其中，正序对包括 (2,7),(2,5),(1,7),(1,5),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8)，正序对个数为8.
其中，逆序对没有，逆序对个数为08个一组的时候，[2 1 7 5 | 3 4 6 8]
其中，正序对包括 (2,3),(2,4),(2,6),(2,8),(1,3),(1,4),(1,6),(1,8),(7,8),(5,6),(5,8),正序对个数为11.
其中，逆序对包括 (7,3),(7,4),(7,6),(5,3),(5,4),逆序对个数为5

同样的，我们假设 4（2的2次方）个一组的时候，逆序对的个数为 c，正序对个数之和是 d.

同样的，我们假设 8（2的3次方）个一组的时候，逆序对的个数为 e，正序对个数之和是 f.

我们把上面的假设总结成表格：

几个数一组	逆序对的个数	正序对的个数
2（2的1次方）	a	b
4（2的2次方）	c	d
8（2的3次方）	e	f

当我们将“ 4（2的2次方）个数字组成的小组”内部逆序的时候，它只影响“2（2的1次方）个数字一组”的小组，和“4（2的2次方）个数字一组的小组”，不会影响“8（2的3次方）一组的小组”。逆序后，表格变成如下：

几个数一组	逆序对的个数	正序对的个数
2（2的1次方）	b（左右交换）	a（左右交换）
4（2的2次方）	d（左右交换）	c（左右交换）
8（2的3次方）	e（不变）	f（不变）

普遍的，当我们要逆序“2的n次方个数字组成的小组”的时候，表格中，“2的n次方一组的小组”这一行下面的所有小组，都不会被影响。这一行上面的所有小组（包括自身），正序对个数和逆序对个数发生交换。

这样，每一次组内做逆序的时候，就可以非常快速的计算逆序之后的逆序对数量。

那么，怎么拥有一开始的表格信息？用归并排序来算。去看体系学习班第4节和第5节，是和merge sort有关的题目。

题目5

约瑟夫环问题

给定一个链表头节点head，和一个正数m

从头开始，每次数到m就杀死当前节点

然后被杀节点的下一个节点从1开始重新数，

周而复始直到只剩一个节点，返回最后的节点

Leetcode :

https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/