《3D 数学基础》12 几何图元

目录

1 表达图元的方法

1.1 隐式表示法

1.2 参数表示

1.3 直接表示

2. 直线和射线

2.1 射线的不同表示法

2.1.1 两点表示

2.1.2 参数表示

2.1.3 相互转换

 2.2 直线的不同表示法

2.2.1 隐式表示法

2.2.2 斜截式

2.2.3 相互转换

3. 球

3.1 隐式表示

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1 表达图元的方法

1.1 隐式表示法

定义一个布尔函数f(x,y,z)，点在图元上，则布尔函数为真，否则为假。例如

  

1.2 参数表示

t从0-1变化，点(x(t), y(t))的轨迹就是所描述的图元，上面描述的是中心在原点的单位圆。

 t有时的变换范围是0-L，L是图元的长度。上面的函数只有一个参数，是单变量，其轨迹是一个曲线，如果是两个变量，其轨迹是曲面。

1.3 直接表示

直接体现图元的本质信息。例如线段：两个端点表示；球：球心和半径表示。

2. 直线和射线

经典定义

 书中对射线定义做了修改：有向线段。

2.1 射线的不同表示法

2.1.1 两点表示

两个端点p_org和p_end

2.1.2 参数表示

或者

起点坐标是p(0)=p_0, 终点坐标是p(1)=p_0 + d，p_0 （即p_org）指定了了射线的位置信息，向量d指定了长度和方向（d = p_end - p_org = (dx, dy)）。

2.1.3 相互转换

两点形式 -> 参数形式 

 参数形式 -> 两点形式

 2.2 直线的不同表示法

2.2.1 隐式表示法

 记向量n=[a, b], p是线上任意一点，d是标量，则向量记法的隐式表示法

其中向量n转换成单位向量：

 

 

 转换：射线( d = (dx, dy)， p_org = (p_orgx, p_orgy) )所在的隐式表示直线

2.2.2 斜截式

 

2.2.3 相互转换

其中隐式ax+by=d, 令x=0，则截距y=d/b.

3. 球

3.1 隐式表示

 到球心c的距离为给定距离r的点的集合，p为球面上点。隐式表示：