知识储备--基础算法篇-二分搜索

1.前言

最近准备开始刷算法题了，搜了很多相关的帖子，下面三个很不错，

计算机视觉秋招准备过程看这个：​​​​​​计算机视觉算法工程师-秋招面经 - 知乎 (zhihu.com)https://zhuanlan.zhihu.com/p/399813916

复习深度学习相关知识看深度学习500问：

深度学习500问(github.com)https://github.com/scutan90/DeepLearning-500-questions刷题看这个：

算法模板，最科学的刷题方式，最快速的刷题路径，你值得拥有~ (github.com)https://github.com/greyireland/algorithm-pattern准备每天学习一点，刷几道题，后面将会持续更新。

2.基础算法篇-二分搜索

2.1二分搜索模板

给一个有序数组和目标值，找第一次/最后一次/任何一次出现的索引，如果没有出现返回-1

模板四点要素

• 1、初始化：start=0、end=len-1

• 2、循环退出条件：start + 1 < end

• 3、比较中点和目标值：A[mid] ==、 <、> target

• 4、判断最后两个元素是否符合：A[start]、A[end] ? target

时间复杂度 O(logn)，使用场景一般是有序数组的查找

模板： 模板分析： 二分查找 - LeetBook - 力扣（LeetCode）全球极客挚爱的技术成长平台

如果是最简单的二分搜索，不需要找第一个、最后一个位置、或者是没有重复元素，可以使用模板#1，代码更简洁

其他情况用模板#3

2.2常见题目

（1）给定一个包含 n 个整数的排序数组，找出给定目标值 target 的起始和结束位置。 如果目标值不在数组中，则返回[-1, -1]

思路：核心点就是找第一个 target 的索引，和最后一个 target 的索引，所以用两次二分搜索分别找第一次和最后一次的位置

func searchRange (A []int, target int) []int {if len(A) == 0 {return []int{-1, -1}}result := make([]int, 2)start := 0end := len(A) - 1for start+1 < end {mid := start + (end-start)/2if A[mid] > target {end = mid} else if A[mid] < target {start = mid} else {// 如果相等，应该继续向左找，就能找到第一个目标值的位置end = mid}}// 搜索左边的索引if A[start] == target {result[0] = start} else if A[end] == target {result[0] = end} else {result[0] = -1result[1] = -1return result}start = 0end = len(A) - 1for start+1 < end {mid := start + (end-start)/2if A[mid] > target {end = mid} else if A[mid] < target {start = mid} else {// 如果相等，应该继续向右找，就能找到最后一个目标值的位置start = mid}}// 搜索右边的索引if A[end] == target {result[1] = end} else if A[start] == target {result[1] = start} else {result[0] = -1result[1] = -1return result}return result
}

（2）给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

func searchInsert(nums []int, target int) int {// 思路：找到第一个 >= target 的元素位置start := 0end := len(nums) - 1for start+1 < end {mid := start + (end-start)/2if nums[mid] == target {// 标记开始位置start = mid} else if nums[mid] > target {end = mid} else {start = mid}}if nums[start] >= target {return start} else if nums[end] >= target {return end} else if nums[end] < target { // 目标值比所有值都大return end + 1}return 0
}

（3）编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：

• 每行中的整数从左到右按升序排列。

• 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

func searchMatrix(matrix [][]int, target int) bool {// 思路：将2纬数组转为1维数组 进行二分搜索if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 {return false}row := len(matrix)col := len(matrix[0])start := 0end := row*col - 1for start+1 < end {mid := start + (end-start)/2// 获取2纬数组对应值val := matrix[mid/col][mid%col]if val > target {end = mid} else if val < target {start = mid} else {return true}}if matrix[start/col][start%col] == target || matrix[end/col][end%col] == target{return true}return false
}

（4）假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。 你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

func firstBadVersion(n int) int {// 思路：二分搜索start := 0end := nfor start+1 < end {mid := start + (end - start)/2if isBadVersion(mid) {end = mid} else if isBadVersion(mid) == false {start = mid}}if isBadVersion(start) {return start}return end
}

 （5）假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 请找出其中最小的元素。

func findMin(nums []int) int {// 思路：/ / 最后一个值作为target，然后往左移动，最后比较start、end的值if len(nums) == 0 {return -1}start := 0end := len(nums) - 1for start+1 < end {mid := start + (end-start)/2// 最后一个元素值为targetif nums[mid] <= nums[end] {end = mid} else {start = mid}}if nums[start] > nums[end] {return nums[end]}return nums[start]
}

（6）假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转 ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 请找出其中最小的元素。(包含重复元素) 

func findMin(nums []int) int {// 思路：跳过重复元素，mid值和end值比较，分为两种情况进行处理if len(nums) == 0 {return -1}start := 0end := len(nums) - 1for start+1 < end {// 去除重复元素for start < end && nums[end] == nums[end-1] {end--}for start < end && nums[start] == nums[start+1] {start++}mid := start + (end-start)/2// 中间元素和最后一个元素比较（判断中间点落在左边上升区，还是右边上升区）if nums[mid] <= nums[end] {end = mid} else {start = mid}}if nums[start] > nums[end] {return nums[end]}return nums[start]
}

（7）假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。 你可以假设数组中不存在重复的元素。

func search(nums []int, target int) int {// 思路：/ / 两条上升直线，四种情况判断if len(nums) == 0 {return -1}start := 0end := len(nums) - 1for start+1 < end {mid := start + (end-start)/2// 相等直接返回if nums[mid] == target {return mid}// 判断在那个区间，可能分为四种情况if nums[start] < nums[mid] {if nums[start] <= target && target <= nums[mid] {end = mid} else {start = mid}} else if nums[end] > nums[mid] {if nums[end] >= target && nums[mid] <= target {start = mid} else {end = mid}}}if nums[start] == target {return start} else if nums[end] == target {return end}return -1
}

（8）假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如，数组 [0,0,1,2,2,5,6] 可能变为 [2,5,6,0,0,1,2] )。 编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。若存在返回 true，否则返回 false。(包含重复元素)

func search(nums []int, target int) bool {// 思路：/ / 两条上升直线，四种情况判断，并且处理重复数字if len(nums) == 0 {return false}start := 0end := len(nums) - 1for start+1 < end {// 处理重复数字for start < end && nums[start] == nums[start+1] {start++}for start < end && nums[end] == nums[end-1] {end--}mid := start + (end-start)/2// 相等直接返回if nums[mid] == target {return true}// 判断在那个区间，可能分为四种情况if nums[start] < nums[mid] {if nums[start] <= target && target <= nums[mid] {end = mid} else {start = mid}} else if nums[end] > nums[mid] {if nums[end] >= target && nums[mid] <= target {start = mid} else {end = mid}}}if nums[start] == target || nums[end] == target {return true}return false
}

3.leedcode实战

3.1 第35题

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

class Solution(object):def searchInsert(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: int"""result = 0mid = 0start = 0end = len(nums) - 1while start + 1 < end:mid = start + (end - start)/2if nums[mid] == target:result = midreturn resultelif nums[mid] < target:start = midelif nums[mid] > target:end = midif nums[start] == target:result = startelif nums[end] == target:result = endelif nums[start] > target:result = startelif nums[start] < target and nums[end] > target:result = endelif nums[end] < target:result = end + 1return result

3.2第74题

给你一个满足下述两条属性的 m x n 整数矩阵：

• 每行中的整数从左到右按非递减顺序排列。
• 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

给你一个整数 target ，如果 target 在矩阵中，返回 true ；否则，返回 false 。

class Solution(object):def searchMatrix(self, matrix, target):""":type matrix: List[List[int]]:type target: int:rtype: bool"""row = len(matrix)col = len(matrix[0])start = 0end = row * col - 1result = Falsewhile start + 1 < end:mid = start + (end - start)/2if matrix[mid / col][mid % col] == target:result = Truereturn resultelif matrix[mid / col][mid % col] > target:end = midelif matrix[mid / col][mid % col] < target:start = midif matrix[start / col][start % col] == target or matrix[end / col][end % col] == target:result = Trueelse:result = Falsereturn result

 3.3第34题

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

心得：第一次没写出来，想的是先去除掉重复的部分。正确的做法应该是在nums[mid]==target部分下文章，start=mid就是向后找结束位置，end=mid就是向前找起始位置。

class Solution(object):def searchRange(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: List[int]"""if len(nums) == 0:return [-1, -1]elif len(nums) == 1 :if nums[0] == target:return [0, 0]else:return [-1, -1]start = 0end = len(nums) - 1result = [-1, -1]while start + 1 < end:mid = start + (end - start)/2if nums[mid] > target:end = midelif nums[mid] < target:start = midelse:end = midif nums[start] == target:result[0] = startelif nums[end] == target:result[0] = endelse:result[0] = -1result[1] = -1return resultstart = 0end = len(nums) - 1while start + 1 < end:mid = start + (end - start)/2if nums[mid] > target:end = midelif nums[mid] < target:start = midelse:start = midif nums[end] == target:result[1] = endelif nums[start] == target:result[1] = startelse:result[0] = -1result[1] = -1return resultreturn result

3.4第33题

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

心得：花了半小时没做出来，一开始想着先用nums[mid]与target来做判断，发现行不通，然后尝试两条上升的直线划区域做，想法没错但是陷入了误区。正确方法是两条上升的直线，然后利用start一定会移动到mid和end一定会移动到mid的条件来判断。

定理一：只有在顺序区间内才可以通过区间两端的数值判断target是否在其中。

定理二：判断顺序区间还是乱序区间，只需要对比 left 和 right 是否是顺序对即可，left <= right，顺序区间，否则乱序区间。

定理三：每次二分都会至少存在一个顺序区间。（感谢@Gifted VVilburgiX补充）

通过不断的用Mid二分，根据定理二，将整个数组划分成顺序区间和乱序区间，然后利用定理一判断target是否在顺序区间，如果在顺序区间，下次循环就直接取顺序区间，如果不在，那么下次循环就取乱序区间。

class Solution(object):def search(self, nums, target):""":type nums: List[int]:type target: int:rtype: int"""if len(nums) == 0:return -1start = 0end = len(nums) - 1result = 0while start + 1 < end:mid = start + (end - start)/2if nums[mid] == target:return midif nums[start] < nums[mid]:# 说明左半边是有序的if target <= nums[mid] and target >= nums[start]:end = midelse:start = midelif nums[end] > nums[mid]:# 说明右半边是有序的if target >= nums[mid] and target <= nums[end]:# 用来确定目标是否在这一区域，决定保留哪边。start = midelse:end = midif nums[start]==target:result = startelif nums[end]==target:result = endelse:result = -1return result

3.5第153题

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

• 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
• 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

心得：第一次提交失败，没有考虑到顺序数组的情况，所以加了一个if语句判断是否是顺序的。

class Solution(object):def findMin(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""if len(nums) == 1:return nums[0]start = 0end = len(nums) - 1while start + 1 < end:mid = start + (end - start)/2if nums[start] > nums[end]:if nums[start] < nums[mid]:start = midelif nums[mid] < nums[end]:end = midelse:return nums[0]if nums[start] > nums[end]:return nums[end]else:return nums[start]