线性代数的学习和整理12: 矩阵与行列式，计算上的差别对比

目录

1  行列式和矩阵的比较

2 简单总结矩阵与行列式的不同

3 加减乘除的不同

3.1 加法不同

3.2 减法不同

3.3 标量乘法/数乘

3.3.1 标准的数乘对比

3.3.2 数乘的扩展

3.4 乘法

4 初等线性变换的不同

4.1 对矩阵进行线性变换

4.2 对行列式进行线性变换

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1  行列式和矩阵的比较

• 如果矩阵行数列数相等，那么这个矩阵是方阵，只有方阵才有行列式
• 行列式必须是行列数相等。行列式是方阵的一种特殊运算，加减乘除规则都和矩阵不同

2 简单总结矩阵与行列式的不同

• 区别1

1. 矩阵是一个n*m的数表 矩阵是多个向量 ; 矩阵的行数和列数可以不同;
2. 行列式是一个n阶的方阵样式的;

• 区别2

1. 矩阵不能从整体上被看成一个数, 矩阵是多个向量 ;
2. 行列式最终可以算出来变成一个数/标量;

• 区别3

1. 加法不同
2. 减法不同
3. 数乘不同
4. 乘法完全不同，不可比

• 区别4

1. 线性变化的交换，行列式不同
2. 线性变化的倍数，行列式不同
3. 线性变化的倍加，行列式不变，是相同的

3 加减乘除的不同

3.1 加法不同

• 矩阵加法，两个矩阵都是n*m，A+B = 对应元素相加
• 行列式加法，见下图，只是某1行/列相加

3.2 减法不同

• 减法的差别，参考加法

3.3 标量乘法/数乘

3.3.1 标准的数乘对比

• 矩阵的标量乘法  λ*A=λ*每个元素，*A*B=A*λ*B
• 行列式的标量乘法，λ*|A|=λ*某1行/列

3.3.2 数乘的扩展

矩阵的数乘

• 矩阵的标量乘法始终如此  （λ*A）=λ*（A）

行列式得数乘扩展

• 行列式的标量乘法，|λ*A|=λ^n*|A| ，其中n是满秩矩阵A的秩/维度
• 行列数乘法：  |Ann*Bnn| =|Ann|*|Bnn|
• 行列数乘法：  |2Ann*Bnn| =|2Ann|*|Bnn| =2^n*|Ann|*|Bnn|

1. 里面是矩阵的数乘，矩阵（假设是方阵）的数乘是每行每列都*λ
2. 而行列式的数乘是  某1行/列*λ
3. 因此每行的λ 都可以提出来，因此是n 个λ 相乘=λ^n

3.4 乘法

• 矩阵乘法

1. 矩阵乘法：点乘
2. 矩阵乘法：叉乘

• 行列式应该只有标量乘法，没有其他乘法吧?

4 初等线性变换的不同

线性变换包含，行的线性变换和列的线性变换

行的线性变换

1. 行之间，交换
2. 某行乘以倍数
3. 某行乘倍数+到其他行

列的线性变换

1. 列之间，交换
2. 某列乘以倍数
3. 某列乘倍数+到其他列

4.1 对矩阵进行线性变换

• 无论是线性行变换，还是线性列变换，矩阵还是等价得

1. 交换某行/列
2. 倍数
3. 倍加

• 矩阵进行线性变换后的结果

1. 线性变换前后系统的特征值不变；
2. 线性变换前后系统的传递函数矩阵不变；

4.2 对行列式进行线性变换

• 交换：如果交换行列式|A| 的任意两行/列，增加一个负号-
• 倍数：如果行列式|A| 某1行或列*λ，|A| 变成 λ*|A|
• 倍加：如果行列式|A| 某1行或列*λ后，再加到另外某1行/列，|A| 不变还是=|A|
• 总结，只有进行倍加的线性变换之后，行列式才不变化

解释原因

• 因为行列式其实代表有向的面积比，所以交换行列式|A| 的任意两行/列，增加一个负号-
• 因为行列式的标量乘法 λ*|A|= 把行列式的某1行/列* λ，所以行列式|A| 某1行或列*λ，|A| 变成 λ*|A|

• 因为行列式其实代表有向的面积比，所以行列式|A| 某1行或列*λ后，再加到另外某1行/列，|A| 不变还是=|A|