论文阅读：Distortion-Free Wide-Angle Portraits on Camera Phones

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今天介绍一篇谷歌 2019 年的论文，是关于广角畸变校正的。

Abstract

广角摄影，可以带来不一样的摄影体验，因为广角的 FOV 更大，所以能将更多的内容拍摄进画面，在多人集体合影的时候，一般用广角可以将大家都拍到，但是广角摄影也有弊端，最显著的问题就是畸变，随着 FOV 的增加，画面边缘的人很容易发生变形，比如人头，身体被拉伸。这种畸变让画面边缘的人与真实的人差异很大。这篇论文就是为了解决广角摄影下的畸变问题的。给定一张广角下的人像照，文章中的算法是通过构建一个能量优化函数，将球极投影下的人脸区域与透视投影下的背景区域的位移 mesh 进行联合优化，从而达到一个畸变校正的目的。这篇文章里的算法最后应该是用到了谷歌的 Pixel 手机中了。

Introduction

文章中首先提到了畸变的几种成因， camera 成像是遵循透视投影规律的，透视成像投影的规律就是近大远小，同时视场边缘的成像随着入射角的增加，会产生更大的透视形变，这种形变是由透视投影的客观规律产生的，无法避免。此外镜头本身也会有光学畸变，这是属于光学像差的一种，FOV 越大的镜头，这种光学畸变也会越明显，光学畸变会导致直线弯曲，不过相比透视畸变，镜头的光学畸变有比较成熟的校正方法，比如经典的张正友校正法，通过标定棋盘格，可以估计出镜头的畸变参数，从而进行镜头的光学畸变校正。

不过，即使进行了镜头的光学畸变校正，成像的透视畸变依然存在，所以这篇文章主要是为了解决镜头的透视畸变问题，作者在文章中也提到，他们提出的方法也属于与内容相关的 warping 方法，这类方法之前也广泛地应用于各种图像的操作中，比如全景的拼接，广角的畸变校正，防抖等。本文主要聚焦于人脸区域的 warp，作者认为对于人像摄影来说，用户对人脸的形状是最敏感的。

Method

文章的方法，看起来流程比较简单，如下所示：

给定一张输入图片，首先是用一个分割模型，将人脸区域分割出来；然后将人脸区域进行球极投影；接着利用一个能量函数，将球极投影后的人脸区域 mesh 与背景区域的 mesh 进行优化，使得人脸区域与背景区域的 mesh 能够平滑过度，最终利用输出的 mesh 对全图进行 warp，这样就得到了校正后的图像。

Subject Mask Segmentation

人脸区域分割，这个已经非常成熟了，有很多的分割模型都可以做到这一点。这里就不多做介绍了。

Stereographic Projection

这篇文章对人脸区域的校正利用了一种称为 Stereographic Projection，也就是球极投影，球极投影是一种将 3D 物体投影到 2D 平面的投影方式，这种投影方式可以最大限度的保持物体的形状，不过代价就是会让直线变得弯曲，文章也给出了几种不同投影的例子

可以看到，对于一张有透视畸变的图像，人像的脸已经有明显的拉伸，通过 Stereographic projection 或者 Mercator projection，人脸得到比较好地校正，但是背景的直线已经产生了明显的弯曲，这就类似一种鱼和熊掌不可兼得的感觉，你想保证背景直线是直的，人脸区域会被拉伸，类似输入图；反过来，你想让人脸区域得到校正，背景直线又变得弯曲。所以文章作者想到了一种联合优化的方式，这个后面详细介绍，先来看看球极投影到底是个啥。

文章给出的球极投影的定义如下：

$$r_u=r_0\tan (0.5\arctan (\frac{r_p}{f}))\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $f$ 是镜头的焦距，$r_u,r_p$ 分别表示球极投影以及透视投影下以镜头中心作为参考的半径，$r_0$ 表示一个 scale 系数，保证两种投影下面图像边缘的所对应的半径是相等的

$$r_0=\frac{d}{2\tan (0.5\arctan (\frac{d}{2f}))}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中， d = min ⁡ { W , H } d = \min\{W, H\} d=min{W,H}，表示图像宽高中的较小值。

Mesh Placement

接下来介绍 mesh 的构建，mesh 可以看成是一个网格图，一个 mesh 包含一组网格点 { v i } \{ \mathbf{v}_i \} {vi​}，${\mathbf{v}}_i$ 是一个向量，表示网格点对应的二维坐标，假设输入图对应的 mesh 图是 { p i } \{ \mathbf{p}_i \} {pi​}，对输入图 mesh 上的每个网格点应用球极变换，可以得到一组新的网格点，以及一个新的 mesh， { u i } \{ \mathbf{u}_i \} {ui​}，这两个 mesh 对应网格点的坐标差，其实就是位移向量场，通过这个位移向量场，可以进行 warp，不过正如前面所说，如果直接 warp，人脸区域虽然得到了校正，但是背景会产生扭曲。当然，一种最直观的方法，就是将人脸区域的 mesh 与背景区域的 mesh 分开处理，人脸区域的 mesh 用球极投影下的 mesh，而背景区域依然用之前输入的 mesh。如下式所示：

$$w_i=\{\begin{array}{l}0\text{if}{\mathbf{p}}_i\notin \text{face mask}\\ 1\text{if}{\mathbf{p}}_i\in \text{face mask}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

不过这种方式依然会有问题，文章也给出了示意图，这种直接粗暴地分成两部分的方式，也会到底非常明显的 artifacts

Local Face Undistortion

为了解决这个问题，文章作者提出了一种能量优化的方式，文章中构造了一个如下的能量优化函数：

$${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}^{\ast }={\text{argmin}}_{{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}}{E}_t({\mathbf{v}}_{\mathbf{i}})\text{\hspace{1em}(4)}$$

$E_t$ 可以认为是几种不同的能量函数的加权和。

Face Objective Term

首先是人脸区域的能量项，每个人脸区域都构建一个能量项，所有人脸区域的能量项求和，可以得到整体的人脸区域的能量项

$$E_f=\sum _k{E}_{s,k}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中，$k$ 表示输入图中人脸的编号，可以看到，这个能量项是对每个人脸区域单独构建的，有多少个人脸，就会构建多少个能量项，每个能量项的定义如下：

$$E_{s,k}=\sum _{i\in {\mathbf{B}}_k}{w}_i{m}_i{\Vert {\mathbf{v}}_i-({\mathbf{S}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{t}}_{\mathbf{k}})\Vert }_2^2+\lambda ({\mathbf{S}}_k)\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中，$w_i$ 表示公式 (3) 定义的权重， { u i } \{ \mathbf{u}_i \} {ui​} 表示球极投影 mesh 上的网格点， { B k } \{ \mathbf{B}_k \} {Bk​} 表示第 k 个人脸区域中的网格点，因为图像不同区域的畸变程度不同，需要校正的强度也就不同，所以上面的能量项还加了一个 $m_i$ 来调整权重，这个 m_i 服从一个径向函数的分布

$$m_i\sim \frac{1}{1+\exp ((-(r-r_a)/r_b))}$$

其中，$r$ 表示输入图像中的半径，$r_a，r_b$ 是两个超参，用来控制强度的，对于图像中心的点，保证 $m_i=0.01$，对于图像边缘的点，保证 $m_i=1.0$。从公式 (6) 可以看出，虽然文章是用球极投影来解决人脸的畸变，但是最终优化的时候，并不是简单地直接用球极投影的网格点，而是用了一个仿射变换来拟合，

$${\mathbf{S}}_k=\left[\begin{array}{cc}{a}_k& b_k\\ -b_k& a_k\end{array}\right]{\mathbf{t}}_k=\left[\begin{array}{c}{t}_{k1}\\ t_{k2}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$

这个仿射变换，可以让每个人脸区域的球极投影有更大的自由度，在球极投影的基础上，进行适当的自适应调整。公式 (7) 中的 $a_k$ 是一个缩放系数，文章作者加了一个正则项来控制这个系数：

$$\lambda ({\mathbf{S}}_k)=w_s{\Vert a_k-s_t\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(8)}$$

文章中设置的 $w_s=2000,s_t=1$

Line-Bending Term

人脸区域的能量项介绍完了，下面看看背景区域的能量项，文章中设置了一个能量项来保证让直线等比缩放而不是扭曲：

$$E_b=\sum _i\sum _{j\in N(i)}{\Vert ({\mathbf{v}}_i-{\mathbf{v}}_j)\times {\mathbf{e}}_{ij}\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中，${\mathbf{e}}_{ij}$ 是沿着方向 ${\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j$ 的单位向量。$N(i)$ 表示网格点 $i$ 的邻域

Regularization Term

最后，文章中引入了一个平滑的能量项，

$$E_r=\sum _i\sum _{j\in N(i)}{\Vert ({\mathbf{v}}_i-{\mathbf{v}}_j)\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(10)}$$

Mesh Boundary Extension

文章中也提到，对于图像边缘的点，如果强制让其不移动的话，当人脸处于图像边缘的时候，会产生很明显的扭曲，为了解决这个问题，文章中采用网格扩展的方式，在原图的 mesh 基础上，往外扩展几个网格，同时让这些处于边界的网格点满足如下的约束：

$$\{\begin{array}{l}{v}_{i,x}=p_{i,x}\text{if}{\mathbf{p}}_i\in \text{left or right boundary}\\ v_{i,y}=p_{i,y}\text{if}{\mathbf{p}}_i\in \text{top or bottom boundary}\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

这个约束保证了边界的点只会沿着边界移动，同时，为了减少 mesh warping 出现的未定义区域，文章中还利用了一个能量项，让原始 mesh 边缘的网格点尽量往外扩，而不是往内缩：

$$E_a=E_l+E_r+E_t+E_b\text{\hspace{1em}(12)}$$

$$\{\begin{array}{l}{E}_l=\mathbb{I}(v_{i,x}>0)\cdot {\Vert v_{i,x}\Vert }_2^2,\forall i\in {\partial }_{left}\\ E_r=\mathbb{I}(v_{i,x}<W)\cdot {\Vert v_{i,x}-W\Vert }_2^2,\forall i\in {\partial }_{right}\\ E_t=\mathbb{I}(v_{i,y}>0)\cdot {\Vert v_{i,y}\Vert }_2^2,\forall i\in {\partial }_{top}\\ E_b=\mathbb{I}(v_{i,y}<H)\cdot {\Vert v_{i,y}-H\Vert }_2^2,\forall i\in {\partial }_{bottom}\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$

Optimization

最后的能量函数，就是将前面定义的能量函数加权：

$$E_t={\lambda }_f{E}_f+{\lambda }_b{E}_b+{\lambda }_r{E}_r+{\lambda }_a{E}_a\text{\hspace{1em}(14)}$$

对应权重分别设为：4,2,0.5,4

为了加速优化，文章在初始化的时候，也做了一些 trick：

最后 warp 的时候，文章中将优化得到的 mesh 还做了一个类似归一化的操作：

$${\mathbf{v}}_{n,i}=s_g({\mathbf{v}}_i^{\ast }+{\mathbf{t}}_g){\mathbf{t}}_g=-{\mathbf{v}}_0^{\ast }$$

最后的效果还是不错的，具体的样例可以看文章的 project 网站：

https://people.csail.mit.edu/yichangshih/wide_angle_portrait/