【考研数学】矩阵三大关系的梳理和讨论 | 等价、相似、合同

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引言

昨天学了矩阵的合同关系，老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法，方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑，为此，我想自己梳理一遍，顺带也复习一下线代之前的所学。

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一、定义

矩阵等价 —— 设 $A,B$ 为同型矩阵，若存在可逆矩阵 $P,Q$ ，使得 $PAQ=B$ ，称矩阵 $A,B$ 等价，记为 $A\cong B$ 。

矩阵相似 —— 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，称矩阵 $A,B$ 相似，记为 $A\sim B$ 。

矩阵合同 —— 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{T}AP=B$ ，称矩阵 $A,B$ 合同，记为 $A\simeq B$ 。

从定义来看，在考研范围内，合同的要求最高，为 $n$ 阶实对称矩阵，相似要求为方阵，而等价则只要求同型。

三者关系的定义形式也很类似，都是存在可逆矩阵，使得一个矩阵左乘右乘，变为另一个矩阵。容易看出，相似和合同关系一定是等价关系，因为相似和合同中的矩阵 $P,P^T,P^{-1}$ 都是可逆的。

我们也可以发现，如果矩阵 $P$ 满足 $P^T=P^{-1}$ ，相似关系和合同关系似乎就等价了。恰巧，这样的矩阵我们也学过，叫作正交矩阵。但是实际上是有些问题的，我们需要借助对角化的内容来进行论证，请看我的。

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假设两个实对称矩阵 $A,B$ 相似，是否能推出一定合同呢？答案是肯定的。
证明： 由 $A\sim B$ ，有存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ 。又因为矩阵 $A,B$ 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，即存在正交矩阵 $Q_1,Q_2$ ，使得 $Q_1^{-1}AQ=\Lambda =Q_2^{-1}B{Q}_2$ 。由 $Q_1^T=Q_1^{-1},Q_2^T=Q_2^{-1}$ ，则 $Q_1^{T}A{Q}_1=Q_2^{T}B{Q}_2$ ，两边同时左乘 $(Q_2^T{)}^{-1}=Q_2$ ，右乘 $Q_2^{-1}=Q_2^T$ ，即 $Q_2{Q}_1^{T}A{Q}_1{Q}_2^T=B$ ，整理可得 $$(Q_1{Q}_2^T{)}^{T}A(Q_1{Q}_2^T)=B$$ 证毕。

假设两个实对称矩阵 $A,B$ 合同，是否能推出一定相似呢？答案是否定的。
证明： 由 $A\simeq B$ ，存在可逆矩阵 $P$（非正交矩阵） ，使得 $P^{T}AP=B$ 。 矩阵 $B$ 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，有 $Q^{T}BQ=\Lambda$ ，则有 $Q^T{P}^{T}APQ=\Lambda$ 。将 $A$ 单独放到一边，有 $A=PQ\Lambda Q^{-1}{P}^{-1}=(P^T{)}^{-1}((Q^T{)}^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}=(P^T{)}^{-1}B{P}^{-1}$ 。当且仅当 $(P^T{)}^{-1}=P$ 时，即 $P$ 为正交矩阵时，有如上结论。

证毕。

第一个命题没有涉及到 $P$ 这一可逆而不确定是否正交的矩阵，故可顺利进行。而第二个命题无法保证 $P$ 正交，故无法进行下去。

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二、判别法

如何判断两个同型矩阵 $A,B$ 是否等价呢？
给出判别法：若 $r(A)=r(B)$ ，则矩阵 $A,B$ 等价。

如何判断两个 $n$ 阶矩阵 $A,B$ 是否相似呢？
给出判别法：若 $A,B$ 的特征值相同且 $A,B$ 均可以相似对角化，则矩阵 $A,B$ 相似。

如何判断两个实对称矩阵 $A,B$ 是否合同呢？
给出判别法：$A,B$ 的正、负、零特征值个数相同。

从判别法可以看出，等价只要求两个矩阵的秩相同；而相似除秩相同外，还需要保证两个矩阵的行列式、迹、特征值、特征多项式也相同；合同则除秩相等外，还需保证其正、负、零特征值个数对应相同。

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写在最后

在考研范围内，我们只能得出：

在实对称矩阵范围： 相似一定合同，合同不一定相似；相似一定等价，合同一定等价。

在一般 $n$ 阶矩阵范围： 相似和合同无关；相似一定等价，合同一定等价。