AM@麦克劳林公式逼近以及误差分析

abstract

• 麦克劳林公式及其近似表示的应用
• 误差估计和分析

Lagrange型泰勒公式的估计误差

• 由Lagrange型余项泰勒公式可知,多项式$p_n(x)$近似表达函数$f(x)$时,其误差为$|R_n(x)|$
  • $R_n(x)$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$,($\xi$在$x_0$和$x$之间)(R1)

误差估计式

• 若对于某个固定的$n$,当$x\in U(x_0)$邻域时,$|f^{(n+1)}(x)|⩽M$(函数$f^{(n+1)}(x)$在邻域$U(x_0)$内局部有界),则可以估计误差的上限(记为$R_M$):
  • $M$不一定是常数,可能是函数$M(x)$
    • 例如$f(x)=e^x$,其$|f^{(n+1)}(x)|$=$|e^x|⩽e^{|x|}$
  • 进行不等式放大:$|R_n(x)|⩽\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0{|}^{n+1}$=$R_M$(0);
  • 该公式给出了估计误差的一个上限

麦克劳林(Maclaurin)公式

• 在Peano型泰勒公式中,

  • $f(x)$=$p_n(x)+R_n(x)$(1)
    • =$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots$+$\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n$+$R_n(x)$
    • =${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(x_0)(x-x_0{)}^k$+$R_n(x)$(2)

• 若取$x_0=0$则

  • 带有Peano余项的Taylor公式表示为

    • $f(x)$=${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(0)(x{)}^k$+$o((x{)}^n)$
      • =$f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2$+$\cdots$+$\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n$+$o(x^n)$(3)
    • 此时公式也称为:带有Peano余项的Maclaurin公式,

  • 带有Lagrange余项的Taylor公式

    • $R_n(x){|}_{x_0=0}$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$,($\xi$在$x_0$和$x$之间)
    • 若令$\xi =\theta x$,$(\theta \in (0,1))$,则$R_n(x){|}_{x_0=0}$=$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}$,$(\theta \in (0,1))$(R2)
    • $f(x)$=${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(0)(x{)}^k$+$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}$
      • 即$f(x)$=$f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2$+$\cdots$+$\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n$+$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}$(4)

麦克劳林近似公式

• Maclaurin多项式:$p_n(x){|}_{x_0=0}$=${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}{f}^{(k)}(0)(x{)}^k$=$f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2$+$\cdots$+$\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n$
• Maclaurin近似公式:$f(x)\approx p_n(x){|}_{x_0=0}$
• 此时,误差估计式写成$|R_n(x)|⩽\frac{M}{(n+1)!}|x{|}^{n+1}$

小结

• 被逼近函数=逼近函数+误差

• 被逼近函数可以用逼近函数$p_n(x)$来估计,该估计的误差可以用$R_n(x)$来估计

• 从余项和误差估计式可以看出,对于给定的泰勒公式$f(x)=p_n(x)+R_n(x)$

  • 为了体现近似源$x_0$,可写成$f(x,x_0)=p_n(x,x_0)+R_n(x,x_0)$,用该公式中的$p_n(x,x_0)$来估计$f(x)$的取值
  • 当$x$离$x_0$越远,($|x-x_0|$越大),则估计误差$|R_n(x)|$越大:$|\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}|$
  • 为了提高精度,可以提高$n$的大小
    • 因为误差式中有一个分母$(n+1)!$阶乘的增长速度快于指数$(x-x_0{)}^{n+1}$(通过求极限可以证明,即使$x-x_0$不变,只要使得,$n\to \infty$时,就有$R_M\to 0$,从而$|R_n(x)|\to 0$)
  • 泰勒公式$n$阶逼近的方法和一般的逼近手段不同,例如一阶微分逼近$f(x)\approx f^{\prime }(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$需要靠$x\to x_0$来提高精度,而泰勒公式除了可通过$x\to x_0$提高精度,还可以选择提高逼近阶数$n$来实现

• 通过对一般的泰勒公式中的$x_0$取定为$0$,得到Maclaurin公式,该公式形式上和计算上比一般形式的泰勒公式更加简单,而且同样可以通过提高逼近阶数$n$来提高逼近精度

• 只要阶数够高(存在足够高阶的导数),Maclaurin公式做到任意精度的逼近($n\to \infty$,时误差的极限为0)

逼近公式的截断应用

• 方便起见,通常使用Maclaurin近似公式来作函数的近似表示和高精度估计,一般形式的Taylor公式比较少直接用来估计,Maclaurin公式简单
• 通常$n$不需要太大就有比较高的精度了,例如$n=2$

例

• $f(x)=e^x$的带有Lagrange余项的$n$阶Maclaurin公式

  • n	$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(0)$
    0	$e^x$	1
    1	$e^x$	1
    2	$e^x$	1
    $\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
    $n$	$e^x$	1
    $n+1$	$e^x$	$f^{(n+1)}(\theta x)$=$e^{\theta x}$

  • $e^x$=$f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2$+$\cdots$+$\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n$+$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}$

    • =$1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n$+$\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}{x}^{n+1}$,$\theta \in (0,1)$(1)

  • 误差:$|R_n(x)|$=$|\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}{x}^{n+1}|$<$\frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x{|}^{n+1}$

    • 例如估算$x=1$,即$f(1)$,由公式$e^1\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}$
    • 此时误差为$|R_n|<\frac{e^1}{(n+1)!}$,也可以更加保守,进一步放大误差上界$\frac{3}{(n+1)!}$,当
      • $n=10$时,可以得$e\approx 2.718282$,且保证其误差不超过$10^{-6}$