剑指 Offer 41. 数据流中的中位数

题目

如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

例如，[2,3,4] 的中位数是 3， [2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。 double findMedian() -返回目前所有元素的中位数。

思路

优先队列 / 堆

给定一长度为 N 的无序数组，其中位数的计算方法：首先对数组执行排序（使用 O(Nlog⁡N)时间），然后返回中间元素即可（使用 O(1) 时间）

本题可以根据上述思想，将数据流保存在一个列表中，并在添加元素时保持数组有序，给定一长度为 N 的无序数组，其中位数的计算方法：首先对数组执行排序（使用 O(Nlog⁡N) 时间），然后返回中间元素即可（使用 O(1)时间）

借助 堆 进行优化时间复杂度

建立两个堆，一个小顶堆A，一个大顶堆B，各自保存列表的一半元素 ，其中：

• A保存较大的一半，长度为N/2或者（N+1）/2
• B保存较小的一半，长度为N/2或者（N+1）/2

最后，中位数可以仅根据A,B的堆顶元素计算得到：

举个例子：数据流 [1，2，3，4，5，6，7，8]

如图所示，则[1，2，3，4]保存在大顶堆B，且堆顶元素为4（因为大顶堆堆顶元素最大），然后[5，6，7，8]保存在小顶堆A，且堆顶元素为5（因为小顶堆堆顶元素最小），这也是为什么大顶堆保存较小的一半，小顶堆保存较大的一半，为了就是可以通过A,B的堆顶元素求中位数

算法流程：

设元素总数为 N = m + n ，其中 m 和 n 分别为 A 和 B 中的元素个数

• addNum(num) 函数：添加元素，
  （1）当 m=n（即 N 为 偶数）：需向 A 添加一个元素，即A和B中元素个数相等时，优先往A中先加元素。实现方法：将新元素 num插入至 B ，再将 B 堆顶元素插入至 A （这是为了始终保证A中存较大的一半，B中存较小的一半，因为num可能属于较小的一半，即B中的元素，所以要先加入B，再将B堆顶元素插入A）；

举个例子，A中加入1需要先加入B中，然后将B的堆顶元素3加入A

（2）当 m≠n（即 N 为 奇数）：需向 B 添加一个元素，此时情况即为A比B多一个元素。实现方法：将新元素 num 插入至 A ，再将A 堆顶元素插入至 B （同理，为了始终保证A中存较大的一半，B中存较小的一半，要先加入A，再将A的堆顶元素插入B，因为num可能属于较大的一般分，即属于A的元素）；

举个例子，B中加入6需要先加入A中，然后将A的堆顶元素3加入B

• findMedian() 函数：找中位数
  （1）当 m=n（ N 为 偶数）：则中位数为 ( A 的堆顶元素 + B 的堆顶元素 ) / 2
  （2）当 m≠n（ N 为 奇数）：则中位数为 A 的堆顶元素。

复杂度分析：

• 时间复杂度：
  （1）查找中位数 O(1) ： 获取堆顶元素使用 O(1) 时间；
  （2）添加数字 O(log⁡N) ： 堆的插入和弹出操作使用 O(log⁡N)时间
• 空间复杂度O(N)：其中 N 为数据流中的元素数量，小顶堆 A 和大顶堆 B 最多同时保存 N个元素。

java代码如下：

class MedianFinder{Queue<Integer> A,B;public MedianFinder() {A = new PriorityQueue<>();//java默认小顶堆，保存较大的一半B = new PriorityQueue<>((x,y) -> (y - x));//使用降序定义大顶堆（因为大顶堆堆顶元素最大，所以是降序，但是用于升序排序，因为每次出堆顶元素是最大的），保存较小的一半}public void addNum(int num){if(A.size() != B.size()){//如果A，B元素个数不相等，则往B中添加元素//但是为了始终保证A中存较大的一半，B中存较小的一半A.add(num);//要先往A中加B.add(A.poll());//然后再将A的堆顶元素加入B} else {//如果A，B元素个数相等，则往A中添加元素//同理为了始终保证A中存较大的一半，B中存较小的一半B.add(num);A.add(B.poll());//要先往B中加//然后再将B的堆顶元素加入A}}public double findMedian(){return A.size() != B.size() ? A.peek() : (A.peek() + B.peek()) / 2.0;}
}