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[算法学习笔记](超全)概率与期望

news 2025/12/16 0:19:34

引子

先来讲个故事······

话说在神奇的OI大陆上，有一只paper mouse

有一天，它去商场购物，正好是11.11，商店有活动

它很荣幸被选上给1832抽奖

在抽奖箱里，有3个篮蓝球，12个红球

paper mouse能抽3次

蒟蒻的paper mouse就疑惑了:抽到至少1个篮蓝球的概率是多少？？？

Answer:

总共有15个球

只抽到1个篮蓝球的概率是 $\frac{C_{3}^{1}*C_{12}^{2}}{C_{15}^{3}}$ $\approx$ 0.435165（很好理解吧，在4个篮蓝球里取一个，再在11个红球里面取3个，总共是在15个里面取4个）

抽到2个篮蓝球的概率是 $\frac{C_{3}^{2}*C_{12}^{1}}{C_{15}^{3}}$ $\approx$ 0.079121

抽到3个篮蓝球的概率是 $\frac{C_{3}^{3}*C_{12}^{0}}{C_{15}^{3}}$ $\approx$ 0.002198

所以总概率就是三者之和，即0.435165+0.079121+0.002198=0.516484 $\approx$ $\frac{129}{250}$

我们也可以反过来分析：如果paper mouse运气爆棚，一个篮蓝球都没有抽到

那么其对立事件就一定会有至少一个篮蓝球

所以概率就是:1- $\frac{C_{12}^{3}}{C_{15}^{3}}$ $\approx$ 1-0.483516=0.516484 $\approx$ $\frac{129}{250}$

也就是说，paper mouse有接近 $\frac{1}{2}$ 的概率给心爱的1832送上礼物······

概率

概率就是随机事件出现的可能性大小

For example，上面的故事里就涉及到概率

若某种事件重复了N次，其中A事件出现了M次，出现A事件的概率就是 $\frac{M}{N}$

同时， $0\leq \frac{M}{N}\leq 1$ ，用 $P()$ 表示

即： $P(A)=\frac{M}{N}$

1.1 条件概率与全概率

条件概率公式：

如果事件A发生的概率为P(A)，事件B单独发生的概率为P(b)

若B必须在A发生之后发生，则B发生的概率就是条件概率，P(B)=P(A|b)= $\frac{P(AB)}{P(b)}$

（是不是还比较好理解？真正shit的才刚刚开始）

全概率公式：

如果事件 B1, B2,⋯, Bn 构成一个完整的样本空间，且两两互斥，P(Bi) > 0。则对于任意事件 A 有： $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$ ，这就是全概率公式

思想就是：P(A)不是很好求，但是把P(A)拆开计算P(A|Bi)P(Bi)就相对好算一些

举个例子：

paper mouse去表白1832了
他每次写情书，1832都有0.5的概率看见
而第一次看见，1832有0.2的概率同意他
第二次看见时，1832有0.5的概率同意他
第三次看见时，1832一定会同意他的请求

求paper mouse获得1832爱情的概率

通过全概率公式：

事件A是paper mouse陷入爱河

事件集合B是：B={ $B_0,B_1,B_2,B_3$ }， $B_i$ 表示paper mouse表白了i次

$P(A)=P(AB_0)+P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)$

$= P(A|B_0)P(B_0) + P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)+ P(A|B_3)P(B_3)$

$=0+C_{3}^{1}*0.5^{3}*0.2+C_{3}^{2}*0.5^{3}*0.5+C_{3}^{3}*0.5^{3}*1$

$=0.3875$

所以paper mouse表白成功的概率高达0.3！（喜）

期望

炸裂的东西来了

先看看期望的定义

1.1 期望定义

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量的一切可能的取值 Xi 与对应的概率 P(Xi) 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望，记为 E(X) ，简称期望。

~~怎么样？是不是蛮有意思的？~~

换一种通俗但不精确的方式阐述一下（涉及下定义内容，非xxs请谨慎观看）：

期望就是某件事发生的概率集合中的每一个数对其对应值的乘积的和

一个普通骰子，众所周知有六面，对应1~6

每一面转到的概率就是 $\frac{1}{6}$ ，所以：

$E(X)=\frac{1}{6}*1+\frac{1}{6}*2+\frac{1}{6}*3+\frac{1}{6}*4+\frac{1}{6}*5+\frac{1}{6}*6$

$=\frac{1}{6}*(1+2+3+4+5+6)$

$=3.5$

所以也可以这么说：

数学期望可以理解为某件事情大量发生之后的平均结果。

来个难点的：

设一张彩票为 2 元，每售 100000 张开奖，假每张彩票有一个对应的六位数号码，奖次如下：

安慰奖：奖励 4 元，中奖概率0.1
幸运奖：奖励 20 元，中奖概率 0.01
手气奖：奖励 200 元，中奖概率 0.001
一等奖：奖励 2000 元，中奖概率 0.0001
特等奖：奖励 20000 元，中奖概率 0.00001

那公司到底是亏还是赚呢？

我们来简单计算一下，对于每一位购买彩票的用户，公司可能支出为：

$0.14+0.01*20+0.001*200+0.0001*2000+0.00001*20000=1.2$

所以公司期望赚0.8元

1.2 期望的线性性质

设 X, Y 是任意两个随机变量，则有

E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )

证明略

再举个栗子：

同时仍一颗骰子的期望为3.5

同时扔两颗骰子的概率是3.5+3.5=7

1.3 条件期望与全期望公式

一个经典xxs的题：

A班平均分为x分，B班平均分为y分

求A、B两个班的平均分

显而易见的：A、B班的平均分不能直接(x+y)/2

而是： $(x*a+ y*b)/(x+y)$ ，其中a表示A班人数，b表示B班人数

期望也差不多。

友好的看一下全期望公式：

设 X 是一个离散型随机变量，当 X = xi 时，随机变量 Y 可能包含多种情况 y1, y2,⋯, yk，随机变量 Y 的条件数学期望为：

$E(Y|X=x_i)=\sum ^{k}_{j=1}y_j × P(Y = y_j |X = x_i)$

对于随机变量 X 有很多取值 x1, x2,⋯, xa，Y 有很多取值 y1, y2,⋯, yb。

全期望公式：

$E(Y)=E(E(Y|X))$

   $=\sum ^{a}_{i=1}P(X = x_i)E(Y|X = x_i)$

   $= \sum^{a}_{i=1}P(X=x_i)\sum^{b}_{j=1}y_j*P(Y=y_j|X=x_i)$

   $=\sum^{a}_{i=1}\sum^{b}_{j=1}y_j*P(X=xi)*P(Y= y_i|X=x_i)$

   $=\sum^{a}_{i=1}\sum^{b}_{j=1}y_j×P(X=x_i,Y=y_j)$

   $=E(Y)$

例如，一项工作由甲一个人完成，平均需要 4 小时，而乙有 0.4 的概率来帮忙，两个人完成平均只需要 3 小时。

若用 X 表示完成这项工作的人数，而 Y 表示完成的这项工作的期望时间（单位小时）

由于这项工作要么由一个人完成，要么由两个人完成，那么这项工作完成的期望时间

$E(Y)=P(X=1)*E(Y|X=1)+P(X=2)*E(Y|X=2)=(1-0.4)*4-0.4*3=3.6$

(例题下次更新)

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