数据结构-二叉树（1）

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
3.因此，树是递归定义的。

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6.
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点.
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点.
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点.
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点.
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点.
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6.
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4.
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点.
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先.
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙.
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法.

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

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2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 

2.3二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0=n2 ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h= log2(n+1). (ps：log2(n+1) 是log以2为底，n+1为对数).
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

3.3 堆的实现

3.3.1堆的定义

堆的底层可以定义一个数组。

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;

3.3.2堆的初始化

void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}

3.3.3堆的销毁

void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

3.3.4插入数据

首先判断一下空间是否满了，满了的话则扩容。再使用三目操作符判断是否是第一次扩容，再进行相应的扩容，再利用realloc的特点进行扩容或者是调整。在size位置上插入数据，再size++。但是现在不是堆，所以需要进行调整，使用向上调整。

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);// 扩容if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

3.3.5向上调整数据

假设有一组这样的小堆数据，要插入一个20，再进行向上调整。

 第一步就是通过下标找到父亲节点parent=(child-1)/2，判断父亲节点是否小于此儿子节点，如果父亲节点小于此儿子节点，就不需要调整，否则就需要进行交换。交换完后将儿子下标child=parent，在下图中就是将10换成了4。再重新计算父亲下标，因为此时的parent还是4，所以parent=（parent-1）/2计算父亲下标，再向上判断，直到父亲节点小于儿子节点或者此节点调整到根节点。

 所以这个函数开始就要计算一下父亲节点，再进入while循环，循环结束的条件是child=0，也就是调整到了根节点这个位置。进入循环先判断儿子节点和父亲节点的大小，如果儿子节点小于父亲节点则开始交换，利用Swap函数交换值，再调整儿子节点的下标和父亲节点的下标，如果儿子节点大于父亲节点了也跳出循环。

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}

3.3.6打印堆

for循环写一个左闭右开即可，因为size-1才是最后一个数据的下标。

void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (size_t i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

3.3.7向下调整数据

顺序表的尾删和尾插的效率是不错的，所以我们可以把尾节点和头节点交换位置，再size--删除掉尾节点。

 这个时候还没有完，因为20这个数据如果放在头节点就不能保持这个小堆了，所以需要进行向下调整，向下调整就相当于找儿子节点child=parent*2+1，写一个while循环，结束条件是child=n越界,这个时候还要做一件事，就是找出左右孩子中较小的孩子，如果child+1<n&&左孩子小于右孩子有一个不成立则不需要找大小孩子了，也就是右孩子越界的话就结束，左孩子小于右孩子也结束。如果两个条件都成立的话则将child+1，换成左孩子小的右孩子。接下来判断孩子节点和父亲节点的大小，如果孩子节点比父亲节点小，则Swap交换值，再将父亲下标parent换成孩子下标child，再计算下一个儿子节点下标，因为此时的parent还是0，所以child=parent*2+1。如果孩子节点大于父亲节点则退出循环。、

 

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child<n){//找小的孩子if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child = child + 1;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//继续往下调整parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

3.3.8删除数据

先交换根节点和尾节点，size--，再向下调整。

void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0],&php->a[php->size - 1]);--php->size;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

3.3.9取根节点数据

HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}

3.3.10判断堆是否为空

bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

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今天的分享到这里就结束了，感谢大家的阅读！