【线性代数】期末速通！

1. 行列式的性质

1.1 求一个行列式的值

特殊地，对角线左下全为0，结果为对角线乘积。行 r 列 c

1.2 性质

1. 某行（列）加上或减去另一行（列）的几倍，行列式不变
2. 某行（列）乘 k，等于 k 乘此行列式
3. 互换两行(列)，行列式变号

2. 行列式的计算及应用

见书 P22，P18

2.1 公式应用

2.2 公式应用

2.3 性质应用

①两行(列)相同或成比例时，行列式为0

②某行(列)为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减

2.4 求余子式（M）、代数余子式（A）

2.5 公式应用

2.6 多个 A 或 M 相加减

2.7 给一个方程组，判断其解的情况

3. 矩阵的运算上

3.1 矩阵加减

3.2 矩阵相乘

前行乘后列

结果行数等于前项，结果列数等于后项

特殊情况：

3.3 矩阵取绝对值

| A ^-1 | = | A | ^-1

行矩阵或者列矩阵的行列式的值就是各个数相乘。

对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,…,an) 。

4. 矩阵的运算下

4.1 转置

先用行乘列，简化运算。

4.2 证明矩阵可逆

4.3 求逆矩阵

A 和 E 同时进行变换。

4.4 公式应用

4.5 公式应用

4.6 求矩阵的秩或未知数

对矩阵进行行变换，是下行左端的0比上行多，直到下面行全为0为止。

秩为不全为0的行数。

一个矩阵（非零）和它的转置矩阵相乘的积的秩为 1。零矩阵时为零。

5. 向量组与线性空间

5.1 判断某向量是否可以由某向量组线性表示

5.2 判断某个向量组是否线性相关

5.3 已知三维向量空间的一组基底，求某一向量在此基底下的坐标

5.4 求几个行向量的极大无关组

操作步骤里面只有第一行和第四行做过交换，因此把前面的序号从1，2，3，4变为4，2，3，1。

6. 解方程组

6.1 判断方程组解的情况

6.2 解方程组（通解）

第②步：因为秩为3，所以将矩阵的前三行前三列的对角线变为1，其他变为0。

6.3 求方程组的通解、特解、基础解系

通解即为上述 6.2 中解出的方程组的解。

特解即为将 k 附任意值，得出的解。

基础解系是 k 后面的矩阵：

6.4 已知某方程组的多个特解，求某齐次方程组的通解

X1和X2不成比例就是线性无关。

6.5 已知某方程组的多个特解，求某非齐次方程组的通解

通解 = Ax=b 的一个特解 + 导出组的基础解系的线性组合

6.6 判断解集合中线性无关的解向量个数

7. 方阵对角化及其应用

7.1 规范正交化

比如：

7.2 求矩阵的特征值

7.3 求矩阵的特征向量

先求特征值。

7.4 判断方阵是否与对角阵相似

7.5 求方阵对应的对角阵及可逆变换矩阵

7.6 已知条件，求关于 A 的复杂式子

8. 二次型

8.1 求二次型对应的系数矩阵

8.2 把二次型化成标准型

8.3 把二次型化成规范形

8.4 用配方法把二次型化成标准型

8.5 判断二次型的正定性

系数矩阵的顺序主子式均大于 0 时，该二次型正定。

8.6 二次型为正定的等价条件

满足任意一条即可。

9. 其他题型

9.1 化为最简形矩阵

行最简型：①画楼梯②非零行首个一（也就是阶梯处）所在的列其他数都为零

此题型有时答案可能不唯一。

（A矩阵的逆可以理解为 1 / A）

9.2 判断一个矩阵是否可逆

证明一个矩阵可逆的方法有5种：

（1）看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；
（2）看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；
（3）定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵；
（4）对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；
（5）对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

9.3 判断矩阵是否相似合同

9.4 矩阵消去律

消去左矩阵需要左矩阵满秩，消去右矩阵需要右矩阵满秩。
矩阵消去律详解