判断完全数-第11届蓝桥杯省赛Python真题精选

[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第27讲。

判断完全数，本题是2020年6月20日举办的第11届蓝桥杯青少组Python编程省赛编程部分第2题，题目要求编程输出小于正整数N的完全数并统计其数量。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

时间限制：4000Ms

内存限制：589824K3

背景信息：

因子：也叫做因数，例如3＊5＝15，那么3和5是15的因子，同时15＊1＝15，那么1和15也是15的因子。1，3，5，15这四个因子是15的所有因子。

完数：如果一个数等于不含它本身的其他因子之和，则称该数为“完数”。如6的因子有1，2，3，6且1＋2＋3＝6，因此6是完数。

编程实现：

输入一个正整数N，输出小于N的所有完数及个数（个数前加＂＊＂，例 如：＊2）

输入描述：

输入一个正整数N

输出描述:

输出小于N的所有完数及个数

样例输入:

100

样例输出:

6

28

*2

评分标准：

• 10分：能正确输出一组数据；

• 20分：能正确输出两组数据；

• 20分：能正确输出三组数据；

• 20分：能正确输出四组数据。

二.思路分析

这是一道数论题，考查的知识点主要包括循环、条件、模运算和枚举算法。

公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯首先发现，有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数（本身不包括在内）加起来，正好等于这个自然数自己。

例如，6的除数有1、2、3（6不包括在内），且有　6=1 + 2 + 3。又如，28的所有的除数为1、2、4、7、14（28不包括在内），且有28=1+2+4+7+14。

像这样的数，我们就称之为完全数（完数），意思就是完美的数。

根据题目的描述，我们可以将问题拆分成两个小问题：

• 判断单个数字是否为完美数

• 从1到N逐个判断

这里的重点是问题1，要判断某个数字是否为完全数，首先需要找到所有的因数（不包括本身），将其进行累加，再判断总和是否和该数字相等，这是一个典型的枚举算法。

所谓因数，就是指能被该数字整除的数字，所以我们只需要使用模运算就可以了，为了方便，我们可以将判断完数的过程定义成函数。

一旦有了判断完数的函数，问题2就变得非常简单了，再次使用枚举算法，逐个进行判断即可。

思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们分两步来编写程序：

• 定义函数判断完数；

• 从1到N逐个判断；

1. 定义函数判断完数

根据前面的思路分析，定义函数如下：

传入一个数字，如果是完美数，则返回True，否则返回False。

2. 从1到N逐个判断

有了上面的函数，就可以使用枚举算法，逐个判断1~N之间的数字，并统计完数的个数，代码如下：

测试程序，输入100，结果如下：

输入1000，结果如下：

输入10000，结果如下：

至此，整个程序就全部完成了，你也可以输入不同的日期来测试效果。

四.总结与思考

本题的分数为70分，代码在15行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，主要for...in循环；

• 条件语句；

• 模运算符的应用；

• 函数的定义及使用；

• 枚举算法；

题目难度一般，重点是如何找出给定数字的所有因数（不包括自身），解决思路就是枚举算法，判断依据就是整除，需要用到取模运算符。

实际上，取模运算符%在编程中应用非常的广泛，比如常见的整除问题、周期问题等。

通过上面的测试数据，我们可以发现完全数并不多，在个位数中只有一个6，十位数中也只有一个28，百位数中只有一个496，千位数也只有一个8128。

它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。

你知道第5个完全数是多少吗？

可能比你想象的要大得多，它居然藏在千万位数的深处，它是33550336。

要寻找完全数并不是一件容易的事情，17世纪，法国数学家、哲学家笛卡尔曾经公开预言：“能找到的完全是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”

历史也证实了他的预言，完美数稀少而优美，所以被人们称为数论宝库中的钻石。

今天，我们有了计算机，要找出完全数就容易多了，这也是编程的魅力所在。

超平老师给你留一道思考题，当输入的N越来越大时，程序执行的时间也会增加，如何优化我们的程序，从而提高算法的效率呢？

你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。

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