【动态规划】【数学】1388. 3n 块披萨

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本文涉及知识点

动态规划汇总

LeetCode1388 3n 块披萨

给你一个披萨，它由 3n 块不同大小的部分组成，现在你和你的朋友们需要按照如下规则来分披萨：
你挑选 任意 一块披萨。
Alice 将会挑选你所选择的披萨逆时针方向的下一块披萨。
Bob 将会挑选你所选择的披萨顺时针方向的下一块披萨。
重复上述过程直到没有披萨剩下。
每一块披萨的大小按顺时针方向由循环数组 slices 表示。
请你返回你可以获得的披萨大小总和的最大值。
示例 1：
输入：slices = [1,2,3,4,5,6]
输出：10
解释：选择大小为 4 的披萨，Alice 和 Bob 分别挑选大小为 3 和 5 的披萨。然后你选择大小为 6 的披萨，Alice 和 Bob 分别挑选大小为 2 和 1 的披萨。你获得的披萨总大小为 4 + 6 = 10 。
示例 2：
输入：slices = [8,9,8,6,1,1]
输出：16
解释：两轮都选大小为 8 的披萨。如果你选择大小为 9 的披萨，你的朋友们就会选择大小为 8 的披萨，这种情况下你的总和不是最大的。
提示：
1 <= slices.length <= 500
slices.length % 3 == 0
1 <= slices[i] <= 1000

动态规划

原理

题目等效于以下描述：
从[0,3n)中选择n个不相邻的数据，注意：0和3n-1是相邻。
题目一定符合描述： 因为相邻的数被Alice Bob 取走了。
描述一定符合题意，证明如下：
a,n=1，只有一个数必定不相邻。
b,n >1 。必定有两个选取的数之间有两个或以上的数。反证法：如果任何两个选取的数之间都只有一个数，那数的总数量是2n，和3n矛盾。对勾表示选取，X表示没选取。 $$\cdots \underline{X✓X}X✓X\cdots$$
我们将下划线部分删除，变成 $$\cdots X✓X\cdots$$ 仍然符合描述，但n减少了1。不断迭代n，当n为1时，证明成立。

动态规划的状态表示

pre[b1][b2][k] 表示[0,i)中选取了k个数的最大值，b1是否选择了i-1，b2是否选择了0。
dp类似，表示[0,i+1)的情况。

动态规划的转移方程

当前数 没选择。
b1 变成0。其它不变。
下面分析选取的情况：
b11=true b21=b2 k1=k+1
k的取值范围:[0,n-1)
dp[b11][b21][k1] = max($\cdots$,pre[b1][b2][k]+arr[i])
如果b1等于true，忽略。如果i为3n-1，且b2，忽略。

动态规划的初始值

pre[1][1][1] = arr[0]
pre[0][0][0] = 0
其它 -1e6表示非法状态

动态规划的填表顺序

i从1到3n-1

动态规划的返回值

max(dp[0][0].back() + dp[0][1].back(),dp[1][0].back()+dp[1][1].back())

代码

核心代码

class Solution {
public:int maxSizeSlices(vector<int>& slices) {const int n3 = slices.size();const int n = n3 / 3;vector<vector<vector<int>>> pre(2, vector<vector<int>>(2, vector<int>(n + 1, m_iNotMay)));pre[1][1][1] = slices[0];pre[0][0][0] = 0;for (int i = 1; i < n3; i++){vector<vector<vector<int>>> dp(2, vector<vector<int>>(2, vector<int>(n + 1, m_iNotMay)));//不选择slices[i]for (int i2 = 0; i2 < 2; i2++){for (int i3 = 0; i3 <= n; i3++){dp[0][i2][i3] = max(pre[0][i2][i3], pre[1][i2][i3]);}}//选择{for (int i3 = 0; i3 < n; i3++){dp[1][0][i3+1] = max(dp[1][0][i3+1], pre[0][0][i3] + slices[i]);}}if (n3 - 1 != i){for (int i3 = 0; i3 < n; i3++){dp[1][1][i3+1] = max(dp[1][1][i3+1], pre[0][1][i3] + slices[i]);}}pre.swap(dp);}vector<int> vMax = { pre[0][0].back(), pre[0][1].back(),pre[1][0].back(),pre[1][1].back() };return *std::max_element(vMax.begin(), vMax.end());}const int m_iNotMay = -1000'000;
};

测试用例

int main()
{	vector<int> slices;int d;{Solution sln;slices = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 };auto res = sln.maxSizeSlices(slices);Assert(10, res);}{Solution sln;slices = { 8,9,8,6,1,1 };auto res = sln.maxSizeSlices(slices);Assert(16, res);}{Solution sln;slices = { 9,5,1,7,8,4,4,5,5,8,7,7 };auto res = sln.maxSizeSlices(slices);Assert(30, res);}{Solution sln;slices = { 10,9,1,10,8,5,10,2,2 };auto res = sln.maxSizeSlices(slices);Assert(30, res);}{Solution sln;slices = { 4,1,2,5,8,3,1,9,7 };auto res = sln.maxSizeSlices(slices);Assert(21, res);}
}

优化

关于0和3n-1不能同时选择的解决方法：
情况一：选择了0，没有选择3n-1。
情况二：选择了3n-1，没有选择0。
情况三：两者都没选择。

只处理slices的前3n-1个元素，可以枚举所有的情况一和情况三。
值处理slices的后3n-1个元素，可以枚举所有的情况一和情况三。

class Solution {
public:int maxSizeSlices(vector<int>& slices) {const int n3 = slices.size();const int n = n3 / 3;return max(Do(slices.data(),n3-1,n), Do(slices.data()+1, n3 - 1, n));}int Do(int* slices, int len, int n){vector<vector<int>> pre(2, vector<int>(n + 1, m_iNotMay));pre[0][0] = 0;pre[1][1] = slices[0];for (int i = 1; i < len; i++){vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(n + 1, m_iNotMay));			for (int i2 = 0; i2 <= n; i2++){//不选择dp[0][i2] = max(pre[0][i2], pre[1][i2]);}for (int i2 = 0; i2 < n; i2++){dp[1][i2+1] = max(pre[1][i2+1], pre[0][i2]+slices[i]);}pre.swap(dp);}return max(pre[0].back(), pre[1].back());}const int m_iNotMay = -1000'000;
};

2023年2月版

class Solution {
public:
int maxSizeSlices(vector& slices) {
m_c = slices.size();
vector<vector> dp(m_c/3+1,vector(m_c));
{
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
dp[1][i] = slices[GetIndex(i + 1)];
}
}
for (int len = 6; len <= m_c; len += 3)
{
for (int iPos = 0; iPos < m_c; iPos++)
{
int iMaxValue = 0;
//可以拆分2个
for (int j = 3; j < len; j += 3)
{
int iVaue = dp[j/3][iPos] + dp[(len-j) / 3][GetIndex( iPos+j)];
iMaxValue = max(iMaxValue, iVaue);
}
//消除两端元素和中间元素
for (int j = 1; j < len; j+=3 )
{
int iVaue = slices[GetIndex(iPos + j)] + dp[(j - 1) / 3][GetIndex(iPos + 1)];
const int iRightLen = (len - j -2 ) / 3;
if ( iRightLen > 0 )
{
iVaue += dp[iRightLen][GetIndex(iPos + j + 1)];
}
iMaxValue = max(iMaxValue, iVaue);
}
dp[len / 3][iPos] = iMaxValue;
}
}
auto& pre = dp[m_c / 3];
return *std::max_element(pre.begin(), pre.end());
}
int GetIndex(int index)
{
return (index + m_c)%m_c;
}
int m_c;
};

2023年8月版

class Solution {
public:
int maxSizeSlices(vector& slices) {
needSel = slices.size() / 3;
vector<vector<vector>> pre(2, vector<vector>(2, vector(needSel+1, -1000 * 1000)));
pre[0][0][0] = 0; //pre[i][j][k] i是否选择第0个元素，j前一个元素是否被选择，已经选择了多少个
for (int i = 0; i < slices.size(); i++)
{
vector<vector<vector>> dp(2, vector<vector>(2, vector(needSel + 1, -1000 * 1000)));
for (auto sel0 = 0; sel0 < 2; sel0++)
{
for (auto selPre = 0; selPre < 2; selPre++)
{
for (int hasSel = 0; hasSel <= needSel; hasSel++)
{
//不选择
dp[sel0][0][hasSel] = max(dp[sel0][0][hasSel],pre[sel0][selPre][hasSel]);
//选择
bool bCanSel = (hasSel < needSel) && (!selPre);
if (sel0 && (i + 1 == slices.size()))
{
bCanSel = false;
}
if (bCanSel)
{
bool sel0cur = sel0 || (0 == i);
dp[sel0cur][1][hasSel+1] = max(dp[sel0cur][1][hasSel + 1], pre[sel0][selPre][hasSel] + slices[i]);
}
}
}
}
pre.swap(dp);
}
int iMax = 0;
for (auto sel0 = 0; sel0 < 2; sel0++)
{
for (auto selPre = 0; selPre < 2; selPre++)
{
iMax = max(iMax, pre[sel0][selPre].back());
}
}
return iMax;
}
int needSel;
};

扩展阅读

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相关下载

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。