(done) Positive Semidefinite Matrices 什么是半正定矩阵？如何证明一个矩阵是半正定矩阵？ 可以使用特征值

参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Vg41197ew/?vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

参考资料(半正定矩阵的定义)：https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%8A%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5/2152711?fr=ge_ala

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看看半正定矩阵的定义：

正定矩阵是 > 0，半正定矩阵是 >= 0

根据定义来看，半正定矩阵也有 “实对称矩阵” 的前提条件

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或许我们可以考虑 半正定矩阵性质 和 “特征值特性” 之间的关系，证明方法可以参考之前 “正定矩阵的特征值特性” 的证明方法

首先大胆假设：半正定矩阵 <=> 特征值都 >= 0

那么，设 半正定矩阵 A

先试着证明 半正定矩阵 => 特征值都 >= 0：

• 对于非零任意特征向量 x, x’ A x = x’ (lamda) x = (lamda) x’x >= 0
• 由于特征向量 x 是非零向量，所以 (lamda) >= 0 (可以为 0)
• 这个方向证明完毕

再试着证明 特征值都 >= 0 ===> 半正定矩阵

• 对于任意一个非零向量 x，x’ A x = x’ Q’ (hat) Q x （这是正交相似对角化） (其中 (hat) 是对角矩阵，由于 A 的特征值组成)
• x’ A x = x’ Q’ (hat) Q x = (Qx)’ (hat) (Qx) (其中 (hat) 是对角矩阵，由 A 的特征值组成)
• 由于 x 是非零向量，Q是正交矩阵，所以 (Qx) 是非零向量
• 其中 (hat) 是对角矩阵，对角线上元素由 A 的特征值 (lamda) 组成，(lamda) >= 0，因此 (hat) 也是半正定矩阵
• 于是， (Qx)’ (hat) (Qx) >= 0
• 所以 x’ A x >= 0
• 因此，矩阵 A 是半正定矩阵
• 证明完毕

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up主给的笔记有误，勘误如下：

如下图是判断正定负定、半正定半负定的方法
不对！不对！ up 主错了！！！
对角线上的元素有 0 元素，依然可以是半正定矩阵
我们在后面看个例子

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栗子在这里：