蓝桥杯gcd汇总

gcd3014

问题描述

小明和小红是一对恋人，他们相爱已经三年了，在今年的七夕节，小明准备给小红一个特殊的礼物。他想要送给小红一些数字，让小红算出有多少对正整数 (a,b) 满足以下条件：

c×lcm(a,b)−d×gcd(a,b)=x其中 c,d,x 是小明给出的数gcd(a,b) 为 a,b 的最大公因lcm(a,b) 为 a,b 的最小公倍数 。

小明希望这个问题能够考察小红对于数论基础知识的理解和运用，同时也希望小红能够在这个特殊的日子里感受到他对她的深情。请你帮助小明实现他的想法吧！

输入格式

第一行包含一个正整数 T(1≤T≤103)，表示询问的组数。

接下来 T 行，每行包含三个正整数 c,d,x（1≤c,d,x≤105）。

输出格式

对于每组询问，输出一个正整数表示满足条件的(a,b) 对数。

样例输入

2
2 3 6
4 5 7

样例输出 

4
2

解析

需要理解gcd（最大公因数）和lcm（最小公倍数）的性质，并且能够遍历所有可能的正整数对(a, b)，计算满足条件的数量。然而，直接遍历所有可能的(a, b)对会导致时间复杂度过高，因此我们需要观察题目中所给的不等式。

代码

package lanqiaoyun;
import java.util.*;
public class gcd3014 {public static void main(String args[]) {Scanner scanner=new Scanner(System.in);int T = scanner.nextInt();while (T-- > 0) {int c = scanner.nextInt();int d = scanner.nextInt();int x = scanner.nextInt();System.out.println(countPairs(c, d, x));}scanner.close();}private static int countPairs(int c, int d, int x) {int count = 0;// gcd中所有的可能的元素for (int g = 1; g * g <= x; g++) {if (x % g != 0) continue; // Skip if g does not divide xint n = (x + d * g) / c; // 计算a*bif (n % g != 0) continue; // Skip if g does not divide nint phi = eulerPhi(n / g); // Calculate phi(n/g), the count of numbers coprime with n/gcount += phi; // Add phi(n/g) to the count for each valid g}return count;}// Calculate Euler's totient function phi(n)private static int eulerPhi(int n) {int result = n;for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) {while (n % i == 0) {n /= i;}result -= result / i;}}if (n > 1) {result -= result / n;}return result;}public static long gcd(long a,long b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}public static long lcm(long a,long b) {return a/gcd(a,b)*b;}
}

gcd368

在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与否的民意调查以及结果。例如，对某一观点表示支持的有 1498 人，反对的有 902 人，那么赞同与反对的比例可以简单的记为 1498:902。

不过，如果把调查结果就以这种方式呈现出来，大多数人肯定不会满意。因为这个比例的数值太大，难以一眼看出它们的关系。对于上面这个例子，如果把比例记为 5:3，虽然与真实结果有一定的误差，但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得比较直观。

现给出支持人数 A，反对人数 B，以及一个上限 L，请你将 A 比 B 化简为 ′A′ 比 ′B′，要求在 ′A′和 ‘B′均不大于 L 且 ′A′和 ′B′互质（两个整数的最大公约数是 1）的前提下，A′/B′≥A/B且A′/B′−A/B 的值尽可能小。

输入描述

输入共一行，包含三个整数 A，B，L，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示支持人数、反对人数以及上限。

其中，1≤A≤106，1≤B≤106，1≤L≤100，A/B≤L。

输出描述

输出共一行，包含两个整数 ′A′，B′，中间用一个空格隔开，表示化简后的比例。

输入输出样例

示例

输入

1498 902 10

输出

5 3

代码

import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);//在此输入您的代码...double a=scan.nextDouble();double b=scan.nextDouble();double l=scan.nextDouble();double min=100;int res1=0;int res2=0;for(int i=0;i<l;i++){for(int j=1;j<l;j++){double m=(double) a*1.0/b;double p=(double) i*1.0/j;if(p>=m&&gcd(i,j)==1&&p-m<=min){min=(p-m);//持续寻找更小的min，并更新res1=i;res2=j;}}}if(l==1) {res1=1;res2=1;System.out.println(res1+" "+res2);}else {System.out.println(res1+" "+res2);}scan.close();}public static double gcd(double a,double b ){return b==0?a:gcd(b,a%b);}}

gcd520

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1​ 和 c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数 x 满足：

1. x 和 a0​ 的最大公约数是 a1​；

2. x 和 b0​ 的最小公倍数是 b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入描述

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。

接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数a0​，a1​，b0​，b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0​ 能被 a1​ 整除，b1​ 能被 b0​ 整除。

其中，保证有1≤a0​，a1​，b0​，b1​≤2×109且n≤2000。

输出描述

输出共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

示例 1

输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776 

输出

6
2

代码

 

package lanqiaoyun;
import java.util.*;
public class gcd520 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scan = new Scanner(System.in);//在此输入您的代码...int n=scan.nextInt();while(n-->0){long a0=scan.nextLong();long a1=scan.nextLong();long b0=scan.nextLong();long b1=scan.nextLong();int count=0;for(int x=0;x<=b1;x++){if(gcd(x,a0)==a1&&lcm(x,b0)==b1){count++;}}System.out.println(count);}scan.close();}public static long gcd(long x,long a0){return a0==0?x:gcd(a0,x%a0);}public static long lcm(long x,long b0){return x/gcd(x,b0)*b0;}
}

（后期持续更新）