3.整数运算

系列文章目录

信息的表示和处理 :

1. Information Storage（信息存储）
2. Integer Representation（整数表示）
3. Integer Arithmetic（整数运算）
4. Floating Point（浮点数）

---

---

前言

本文参考书籍是《深入理解计算机系统 3th 中文版》，本文的图片大多是参考和来自于b站up主九曲阑干。非常感谢大佬，侵权删。

本篇文章会提到部分整数数据和算数操作的术语，详情可见2.整数表示的前言部分。

---

一、无符号数的加法（Unsigned Addition）

先来看一个例子：

unsigned char a = 255;
unsigned char b = 1;unsigned cahr c = a + b;
printf("c = %d", c)

运行结果： c = 0

下面是这样一个无符号数加法的总结性结论：

考虑溢出，C 语言不会将溢出作为错误发出信号
当 x+y >= 2^w， 实际结果为 s = x+y-2^w
对任意的 x+y，s = (x+y) % 2^w

上述代码是判断是否溢出，证明略

二、无符号数加法逆元

根据逆元的定义好理解，但是从常识来讲不好理解

三、补码的加法（Two’s Complement Addition）

正溢出：

char x = 127;
char y = 1;char z = a + b;
printf("z=%d", z);

运行结果：z = -128

解释：

负溢出：

如何判断溢出：

四、补码的逆元

这个知识点是没啥用又不太好理解的知识点，略过

五、乘法

正常的乘法：

无符号数的乘法：

补码的乘法：

举一个3-bit的乘法：

可以看到，当相同的二进制位（binary）它们分别用不同的表示方式（无符号数，补码）相乘，在位层面上是一样的吗？
证明：

六、乘以常数（Multiply by Constants）

相当于10进制里面移动小数点

为什么会这样？？？

举一个例子：

七、除以2（Dividing by Powers of 2）

注意：补码和无符号数的右移
证明略

这里有个特殊点：

这里我们期望得到的是-771而不是-772（直接向右算数移动四位）。

首先，我们为什么这么期望？因为有如下规则（向0舍弃）：
为了满足这种规则，如果x小于0，移位之前要加上一个bias
这个bias的值是( 1 << k ) - 1

---

总结

1. 无符号数加法可能会导致溢出
2. 无符号数的加法逆元和补码逆元（鸡肋）
3. 补码的加法：
   • 正溢出
   • 负溢出
4. 无符号数的乘法，和补码的乘法
5. 乘以常数，可以用左移。甚至可以拆分常数将其弄成2^k的组合形式
6. 除以2^k：
   • 正数就逻辑右移
   • 负数加上bias再算数右移（bias的作用就是使得结果向0舍入）
7. 上面的乘以和除以2^k就可以用小数点移位去理解，就相当于是10进制中的乘和除以10^k

参考文献：

1. 《深入理解计算机系统 3th 中文版》
2. b站up主九曲阑干