数学建模 —— 层次分析法（2）

目录

一、层次分析法（AHP）

二、构造比较判断矩阵

2.1 两两比较法

三、单准则下的排序及一致检验

3.1 单准则下的排序

3.2 一致性检验

四、层次总排序

4.1 层次总排序的步骤

4.2 总排序一致性检验

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一、层次分析法（AHP）

        方法：层次分析法（Analytic Hierarchy Process）简称AHP （美国运筹学家T.L.Saaty教授在70年代中期提出）是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法.

运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤:

⑴建立递阶层次结构；

⑵构造比较判别矩阵；

⑶在单准则下的排序及一致性检验；

⑷总的排序选优。

二、构造比较判断矩阵

2.1 两两比较法

        当以上一层次某个因素C作为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣）的认识。aij的取值一般取正整数1—9（称为标度）及其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。关于aij取值的规则见下表

元素	标度	规           则
aij	1	以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比， 具有同样重要。
	3	以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比， i比j稍微重要。
	5	以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比， i比j明显重要。
	7	以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比， i比j强烈重要。
	9	以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比， i比j极端重要。

aij取值也可以取上述各数的中值2，4，6，8及其倒数，即若因素i与因素j比较得aij，则因素j与因素i比较得1/aij。

 设n阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵,  若对于一切i,j,k,都有aijajk=aik, i,j,k=1,2,…,n,称A为一致矩阵.

三、单准则下的排序及一致检验

3.1 单准则下的排序

        根据比较判断矩阵如何求出各因素u1,u2,…,un , 对于准则的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。

（1）理论依据

定理3.1.1 (Perron定理):

设n阶方阵A>O, lmax为A的模最大特征根，则

⑴ lmax必为正特征根,且对应特征向量为正向量；

⑵对于A的任何其它特征值，恒有|l|<lmax ；

⑶ lmax为A的单特征根，因而它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。

定理3.1.2  对于任何一个正互反矩阵均有lmax ³ n， 其中lmax为A的模最大特征根。

定理3.1.3    n阶正互反矩阵A=(aij)为一致矩阵的充分必要条件是A的最大特征根为n.

（2）求正互反矩阵排序向量的方法

①特征根方法（EVM）

        对于正矩阵，有一种求特征向量的简易算法（幂法）。下面的定理为幂法提供了理论依据。

②和法

③根法 

3.2 一致性检验

 

 引入随机一致性指标RI

 所以

 一般当CR<0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij  加以调整。

四、层次总排序

        计算同一层次中所有元素对于最高层(总目标)的相对重要性标度(又称排序权重向量)称为层次总排序。

4.1 层次总排序的步骤

4.2 总排序一致性检验

        人们在对各层元素作比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著，检验的过程称为层次总排序的一致性检验。