【C语言】数据结构-二叉树

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引入

我们之前已经学过线性数据结构，今天我们将介绍非线性数据结构----树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

望文生义，这个数据结构肯定与现实中的树， 有着一定的联系，如图：

 数据结构中的树它看起来像树枝，也想树的根部

树的概念

· 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

· 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

如图：

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

概念图：

 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

文件目录：

 公司内部功能安排

二叉树（特殊的树）

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

这些都不重要

你只需要知道二叉树的每个节点最多两个孩子

可以没有孩子，也可以只有一个孩子

另外在二叉树中

左孩子和右孩子是有差异的

现实中的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1,则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

说人话：

就是说如果除了最底下那一排（所谓的叶子节点）其他的节点都有两个孩子

我们就称之为满二叉树

 那么什么是完全二叉树呢

就是除了树的倒数第二排之外，其他节点都有两个孩子

如图:

二叉树的性质

说了一大堆，能看懂多少算多少

我来说几个比较可能用到的点

只要是树，有两个孩子的节点始终比没有孩子的节点的数量少一

 完全二叉树的坐标规律如右图所示

（完全二叉树中） 我们假使某节点这个下标为i，那么它的父亲就是

（i-1）/2 ，左孩子（如果有的话）为2*i+1，右孩子为左孩子坐标加1

另外还有就是这个完全二叉树的层数问题

除开最后一层外，第一层节点的数量为2^0,第二次为2^1第三次为2^2

第n层为2^(n-1),

如此满二叉树的节点数量为2^n - 1个

hhh,非满二叉树的节点数量则为前n-1层的节点数量+最后一层的节点数

我想，这个时候，在知道二叉树的节点的数量前提下

求出二叉树的深度，也就是层数不是什么困难的事情了

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总结

这就是今天的树的概念讲解

这部分内容不需要太过焦虑

这些概念现在只是稍微有个大概就可以

我们在接下来的学习中会反复提到