7.2 向量的坐标
🙌作者简介:数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师,分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人!
🌙个人主页:阿芒的主页
⭐ 高等数学专栏介绍:本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点,参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课,旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。
文章目录
- 向量的坐标表示
- 利用坐标作向量的线性运算
- 向量的模、方向角、投影
向量的坐标表示
空间直角坐标系下,任意向量r→\overrightarrow{r}r可用向径OM→\overrightarrow{OM}OM表示.
以i→\overrightarrow{i}ij→\overrightarrow{j}jk→\overrightarrow{k}k分别表示x、y、zx、y、zx、y、z轴上的单位向量,设点MMM的坐标为M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z),则
OM→\overrightarrow{OM}OM=r→\overrightarrow{r}r=xi→+yj→+zk→x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}xi+yj+zk 称为向量r→\overrightarrow{r}r的坐标分解式.
xi→,yj→,zk→x\overrightarrow{i},y\overrightarrow{j},z\overrightarrow{k}xi,yj,zk称为向量r→\overrightarrow{r}r沿三个坐标轴方向的分向量.
利用坐标作向量的线性运算
设a→=(ax,ay,az),b→=(bx,by,bz)\overrightarrow{a}=(a_{x},a_{y},a_{z}),\overrightarrow{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),λ{\lambda}λ为实数,则
a→±b→\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz)(a_{x}\pm b_{x}, a_{y}\pm b_{y},a_{z}\pm b_{z})(ax±bx,ay±by,az±bz)
λa→\lambda\overrightarrow{a}λa=(λax,λay,λaz)(\lambda a_{x},\lambda a_{y},\lambda a_{z})(λax,λay,λaz)
平行向量对应坐标成比例:
当a→≠0→\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}a=0时,
a→∥b→\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}a∥b ⟺\Longleftrightarrow⟺b→\overrightarrow{b}b=λa→\lambda\overrightarrow{a}λa(λ\lambdaλ为唯一 实数).
~~~~~~~~~~~~ ⟺\Longleftrightarrow⟺ bxax\frac{{b_{x}}}{a_{x}}axbx=byay\frac{{b_{y}}}{a_{y}}ayby=bzaz\frac{{b_{z}}}{a_{z}}azbz
向量的模、方向角、投影
-
向量的模与两点间的距离公式
-
向量的模
设r→=(x,y,z)\overrightarrow{r}=(x,y,z)r=(x,y,z),作OM→\overrightarrow{OM}OM=r→\overrightarrow{r}r,则有 ∣r→∣=∣OM→∣=x2+y2+z2|\overrightarrow{r}|=|\overrightarrow{OM}| =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}∣r∣=∣OM∣=x2+y2+z2 -
两点间的距离公式
设A(x1,y1,z1)A(x_{1},y_{1},z_{1})A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)B(x_{2},y_{2},z_{2})B(x2,y2,z2),因为
AB→\overrightarrow{AB}AB= OB→\overrightarrow{OB}OB-OA→\overrightarrow{OA}OA=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})(x2−x1,y2−y1,z2−z1),得两点间的距离公式:
∣AB∣|{AB}|∣AB∣ =∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 -
方向角与方向余弦
-
方向角
设有两非零向量 a→\overrightarrow{a}a,b→\overrightarrow{b}b,任取空间一点O, 作OA→\overrightarrow{OA}OA=a→\overrightarrow{a}a, OB→\overrightarrow{OB}OB=b→\overrightarrow{b}b 称φ=∠AOB(0≤φ≤π)\varphi=∠AOB(0 \leq \varphi \leq \pi)φ=∠AOB(0≤φ≤π)为向量a→\overrightarrow{a}a,b→\overrightarrow{b}b 的夹角.
类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.
给定 r→=(x,y,z)≠0→\overrightarrow{r}=(x,y,z)\neq\overrightarrow{0}r=(x,y,z)=0,称 r→\overrightarrow{r}r与三坐标轴的夹角α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ为其方向角 -
方向余弦
方向角的余弦称为方向余弦
cosαcos\alphacosα= x∣r→∣\frac{x}{|\overrightarrow{r}|}∣r∣x=xx2+y2+z2\frac{x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}x2+y2+z2x
cosβcos\betacosβ= y∣r→∣\frac{y}{|\overrightarrow{r}|}∣r∣y=yx2+y2+z2\frac{y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}x2+y2+z2y
cosγcos\gammacosγ= z∣r→∣\frac{z}{|\overrightarrow{r}|}∣r∣z=zx2+y2+z2\frac{z}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}x2+y2+z2z
-
方向余弦的性质
cos2αcos^{2}\alphacos2α+cos2βcos^{2}\betacos2β+cos2γcos^{2}\gammacos2γ=1
向量r→\overrightarrow{r}r的单位向量:r→°=r→∣r→∣\overrightarrow{r}^{°}=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}r°=∣r∣r=(cosα,cosβ,cosγ)(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)(cosα,cosβ,cosγ) -
向量在轴上的投影
-
空间一点在轴上的投影
过点AAA作轴uuu的垂直平面,交点A′A^{'}A′即为点AAA在轴uuu上的投影. -
向量在轴上的投影
设有一轴uuu,e→\overrightarrow{e}e是轴uuu上与uuu轴同向的单位向量.
已知向量AB→\overrightarrow{AB}AB的起点AAA和BBB在轴uuu上的投影分别为A′A^{'}A′和B′B^{'}B′,则A′B′→\overrightarrow{A^{'}B^{'}}A′B′称为AB→\overrightarrow{AB}AB在轴uuu上的分向量.
若A′B′→=λe→\overrightarrow{A^{'}B^{'}}={\lambda}\overrightarrow{e}A′B′=λe,则λ{\lambda}λ称为AB→\overrightarrow{AB}AB在轴uuu上的投影.
向量AB→\overrightarrow{AB}AB在轴uuu上的投影记为PrjuAB→Prj_{u}\overrightarrow{AB}PrjuAB或 (AB→)u(\overrightarrow{AB})_{u}(AB)u.
注:若a→=(ax,ay,az)\overrightarrow{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})a=(ax,ay,az),则
ax=Prjxa→,ay=Prjya→,az=Prjza→a_{x}=Prj_{x}\overrightarrow{a},a_{y}=Prj_{y}\overrightarrow{a},a_{z}=Prj_{z}\overrightarrow{a}ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza
- 向量的投影性质
①投影性质1
向量AB→\overrightarrow{AB}AB在轴uuu上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ PrjuAB→Prj_{u}\overrightarrow{AB}PrjuAB=∣AB→∣cosφ|\overrightarrow{AB}|cos\varphi∣AB∣cosφ
②投影性质2
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.(可推广到任意有限个)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Prju(a→1+a→2)Prj_{u}(\overrightarrow{a}_{1}+\overrightarrow{a}_{2})Prju(a1+a2)=Prjua→1+Prjua→2Prj_{u}\overrightarrow{a}_{1}+Prj_{u}\overrightarrow{a}_{2}Prjua1+Prjua2
③投影性质3
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Prju(λa→)Prj_{u}(\lambda\overrightarrow{a})Prju(λa)=λPrjua→\lambda Prj_{u}\overrightarrow{a}λPrjua
相关文章:
7.2 向量的坐标
🙌作者简介:数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师,分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人! 🌙个人主页:阿芒的主页 ⭐ 高等数学专栏介绍:本专栏系统地梳理高等数学…...
公式编写1000问21-22
21.问: 求助——(周,日,60分钟,30分钟)MACD同时向上的公式怎么表达 答(知无不言): z:“macd.dea#week”; r:“macd.dea#day”; f:“macd.dea#min60”; f1:“macd.dea#min30”; rz:“macd.dea##week”; rr:“macd.dea##day”; rf:“…...
1041 考试座位号
每个 PAT 考生在参加考试时都会被分配两个座位号,一个是试机座位,一个是考试座位。正常情况下,考生在入场时先得到试机座位号码,入座进入试机状态后,系统会显示该考生的考试座位号码,考试时考生需要换到考试…...
2023年3月北京/广州/杭州/深圳数据治理工程师认证DAMA-CDGA/CDGP
DAMA认证为数据管理专业人士提供职业目标晋升规划,彰显了职业发展里程碑及发展阶梯定义,帮助数据管理从业人士获得企业数字化转型战略下的必备职业能力,促进开展工作实践应用及实际问题解决,形成企业所需的新数字经济下的核心职业…...
【AICG】2、扩散模型 | 到底什么是扩散模型?
文章目录一、什么是扩散模型二、扩散模型相关定义2.1 符号和定义2.2 问题规范化三、可以提升的点参考论文:A Survey on Generative Diffusion Model github:https://github.com/chq1155/A-Survey-on-Generative-Diffusion-Model 一、什么是扩散模型 已…...
高等数学——多元函数微分学
文章目录多元函数微分学多元函数的极限多元函数的连续性偏导数定义高阶偏导数全微分定义全微分存在的必要条件全微分存在的充分条件多元函数的微分法复合函数微分法隐函数微分法多元函数的极值与最值无约束极值条件极值及拉格朗日乘数法最大值最小值二重积分概念性质计算利用直…...
一文打通Sleuth+Zipkin 服务链路追踪
1、为什么用 微服务架构是一个分布式架构,它按业务划分服务单元,一个分布式系统往往有很多个服务单元。由于服务单元数量众多,业务的复杂性,如果出现了错误和异常,很难去定位。主要体现在,一个请求可能需要…...
牛客刷题第一弹
1.异常处理 都是Throwable的子类: ①.Exception(异常):是程序本身可以处理的异常。 ②.Error(错误): 是程序无法处理的错误。这些错误表示故障发生于虚拟机自身、或者发生在虚拟机试图执行应用时,一般不需…...
K8s:通过 Kubeshark 体验 大白鲨(Wireshark)/TCPDump 监控 Kubernetes 集群
写在前面 分享一个 k8s 集群流量查看器很轻量的一个工具,监控方便博文内容涉及: Kubeshark 简单介绍Windows、Linux 下载运行监控DemoKubeshark 特性功能介绍 理解不足小伙伴帮忙指正 对每个人而言,真正的职责只有一个:找到自我。…...
MySQL查询索引原则
文章目录 等值匹配原则最左前缀匹配原则范围查找规则等值匹配+范围查找Order By + limit 优化分组查询优化总结MySQL 是如何帮我们维护非主键索引的等值匹配原则 我们现在已经知道了如果是【主键索引】,在插入数据的时候是根据主键的顺序依次往后排列的,一个数据页不够就会分…...
布谷鸟优化算法C++
#include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <random> #include <time.h> #include <fstream> #define pi acos(-1) //5只布谷鸟 constexpr int NestNum 40; //pi值 //规定X,Y 的取值范围 constexpr double X_…...
三体到底是啥?用Python跑一遍就明白了
文章目录拉格朗日方程推导方程组微分方程算法化求解画图动图绘制温馨提示,只想看图的画直接跳到最后一节拉格朗日方程 此前所做的一切三体和太阳系的动画,都是基于牛顿力学的,而且直接对微分进行差分化,从而精度非常感人…...
Golang-Hello world
目录 安装 Go(如果尚未安装) 编写Hello world 使用Golang的外部包 自动下载需要的外部包...
this指针C++
🐶博主主页:ᰔᩚ. 一怀明月ꦿ ❤️🔥专栏系列:线性代数,C初学者入门训练,题解C,C的使用文章 🔥座右铭:“不要等到什么都没有了,才下定决心去做” …...
SpringBoot+WebSocket实时监控异常
# 写在前面此异常非彼异常,标题所说的异常是业务上的异常。最近做了一个需求,消防的设备巡检,如果巡检发现异常,通过手机端提交,后台的实时监控页面实时获取到该设备的信息及位置,然后安排员工去处理。因为…...
Baumer工业相机堡盟相机如何使用自动曝光功能(自动曝光优点和行业应用)(C++)
项目场景 Baumer工业相机堡盟相机是一种高性能、高质量的工业相机,可用于各种应用场景,如物体检测、计数和识别、运动分析和图像处理。 Baumer的万兆网相机拥有出色的图像处理性能,可以实时传输高分辨率图像。此外,该相机还具…...
HTML、CSS学习笔记7(移动适配:rem、less)
一、移动适配 rem:目前多数企业在用的解决方案vw / vh:未来的解决方案 1.rem(单位) 1.1使用rem单位设置尺寸 px单位或百分比布局可以实现吗? ————不可以 网页的根字号——HTML标签 1.2.rem移动适配 写法&#x…...
STM32感应开关盖垃圾桶
目录 项目需求 项目框图 编辑 硬件清单 sg90舵机介绍及实战 sg90舵机介绍 角度控制 SG90舵机编程实现 超声波传感器介绍及实战 超声波传感器介绍 超声波编程实战 项目设计及实现 项目需求 检测靠近时,垃圾桶自动开盖并伴随滴一声,2秒后关盖…...
进程跟线程的区别
进程跟线程的区别 文章目录进程跟线程的区别前言一.什么线程二.线程与进程的联系三.线程与进程有什么不同前言 现代所有计算机都能同时做几件事情,当一个用户程序正在运行时,计算机还能同时读取磁盘,并向屏幕打印输出正文.在一个多道操作程序中,cpu由一道程序向另外一道程的切…...
[ICLR 2016] Unsupervised representation learning with DCGANs
目录 IntroductionModel ArchitectureReferencesIntroduction 作者提出了用 CNN 搭建 GAN,使得 GAN 训练更加稳定的一系列准则,并将满足这些设计理念的模型称为 DCGANs (Deep Convolutional GANs). 此外,作者将 trained discriminators 用于图像分类任务,相比于其他无监督算…...
vscode里如何用git
打开vs终端执行如下: 1 初始化 Git 仓库(如果尚未初始化) git init 2 添加文件到 Git 仓库 git add . 3 使用 git commit 命令来提交你的更改。确保在提交时加上一个有用的消息。 git commit -m "备注信息" 4 …...
【配置 YOLOX 用于按目录分类的图片数据集】
现在的图标点选越来越多,如何一步解决,采用 YOLOX 目标检测模式则可以轻松解决 要在 YOLOX 中使用按目录分类的图片数据集(每个目录代表一个类别,目录下是该类别的所有图片),你需要进行以下配置步骤&#x…...
【数据分析】R版IntelliGenes用于生物标志物发现的可解释机器学习
禁止商业或二改转载,仅供自学使用,侵权必究,如需截取部分内容请后台联系作者! 文章目录 介绍流程步骤1. 输入数据2. 特征选择3. 模型训练4. I-Genes 评分计算5. 输出结果 IntelliGenesR 安装包1. 特征选择2. 模型训练和评估3. I-Genes 评分计…...
iOS性能调优实战:借助克魔(KeyMob)与常用工具深度洞察App瓶颈
在日常iOS开发过程中,性能问题往往是最令人头疼的一类Bug。尤其是在App上线前的压测阶段或是处理用户反馈的高发期,开发者往往需要面对卡顿、崩溃、能耗异常、日志混乱等一系列问题。这些问题表面上看似偶发,但背后往往隐藏着系统资源调度不当…...
安全突围:重塑内生安全体系:齐向东在2025年BCS大会的演讲
文章目录 前言第一部分:体系力量是突围之钥第一重困境是体系思想落地不畅。第二重困境是大小体系融合瓶颈。第三重困境是“小体系”运营梗阻。 第二部分:体系矛盾是突围之障一是数据孤岛的障碍。二是投入不足的障碍。三是新旧兼容难的障碍。 第三部分&am…...
【JVM面试篇】高频八股汇总——类加载和类加载器
目录 1. 讲一下类加载过程? 2. Java创建对象的过程? 3. 对象的生命周期? 4. 类加载器有哪些? 5. 双亲委派模型的作用(好处)? 6. 讲一下类的加载和双亲委派原则? 7. 双亲委派模…...
虚拟电厂发展三大趋势:市场化、技术主导、车网互联
市场化:从政策驱动到多元盈利 政策全面赋能 2025年4月,国家发改委、能源局发布《关于加快推进虚拟电厂发展的指导意见》,首次明确虚拟电厂为“独立市场主体”,提出硬性目标:2027年全国调节能力≥2000万千瓦࿰…...
【C++进阶篇】智能指针
C内存管理终极指南:智能指针从入门到源码剖析 一. 智能指针1.1 auto_ptr1.2 unique_ptr1.3 shared_ptr1.4 make_shared 二. 原理三. shared_ptr循环引用问题三. 线程安全问题四. 内存泄漏4.1 什么是内存泄漏4.2 危害4.3 避免内存泄漏 五. 最后 一. 智能指针 智能指…...
Git常用命令完全指南:从入门到精通
Git常用命令完全指南:从入门到精通 一、基础配置命令 1. 用户信息配置 # 设置全局用户名 git config --global user.name "你的名字"# 设置全局邮箱 git config --global user.email "你的邮箱example.com"# 查看所有配置 git config --list…...
[ACTF2020 新生赛]Include 1(php://filter伪协议)
题目 做法 启动靶机,点进去 点进去 查看URL,有 ?fileflag.php说明存在文件包含,原理是php://filter 协议 当它与包含函数结合时,php://filter流会被当作php文件执行。 用php://filter加编码,能让PHP把文件内容…...
