数学基础 -- 三角学

三角学

三角学（Trigonometry）是数学的一个分支，主要研究三角形的边长与角度之间的关系。三角学在几何学、物理学、工程学等多个领域中有广泛的应用。以下是三角学的一些基本概念和公式：

基本概念

1. 直角三角形：一个角为90度的三角形。
2. 斜边：直角三角形中最长的边，对应于直角的对边。
3. 对边：某个角的对边。
4. 邻边：某个角的邻边。

三角函数

1. 正弦函数 (sin)：$\sin (\theta )=\frac{对边}{斜边}$
2. 余弦函数 (cos)：$\cos (\theta )=\frac{邻边}{斜边}$
3. 正切函数 (tan)： $\tan (\theta )=\frac{对边}{邻边}$

倒数三角函数

1. 余割函数 (csc)：$\csc (\theta )=\frac{1}{\sin (\theta )}$
2. 正割函数 (sec)：$\sec (\theta )=\frac{1}{\cos (\theta )}$
3. 余切函数 (cot)：$\cot (\theta )=\frac{1}{\tan (\theta )}$

常用三角公式

1. ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$
2. $1+{\tan }^2(\theta )={\sec }^2(\theta )$
3. $1+{\cot }^2(\theta )={\csc }^2(\theta )$

常用角度的三角函数值

角度(θ)	$\sin (\theta )$	$\cos (\theta )$	$\tan (\theta )$
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	$1$	$0$	$\infty$

应用

1. 解三角形：利用已知的角度和边长求解未知的角度和边长。
2. 波动和振动：正弦和余弦函数在描述波动和振动现象中具有重要作用。
3. 导航与定位：在GPS定位和航海中，三角函数用于计算位置和方向。

扩展三角函数定义域

扩展三角函数定义域是指将三角函数（如正弦函数、余弦函数、正切函数等）从它们在基本定义中的常见定义域（通常是角度或弧度的有限范围）扩展到更广泛的范围，通常是整个实数集。下面是一些方法和概念，帮助你理解和扩展三角函数的定义域：

1. 周期性：

   • 三角函数的一个基本特性是周期性。例如，正弦函数和余弦函数的周期为 $2\pi$，即对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+2\pi )=\sin (x)$ 和 $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$。
   • 正切函数的周期为 $\pi$，即 $\tan (x+\pi )=\tan (x)$。

2. 无限扩展：

   • 利用周期性，可以将三角函数的定义从一个有限区间扩展到整个实数集。例如，考虑正弦函数的基本定义域是 $[-\pi ,\pi ]$，通过利用其周期性，可以定义 $\sin (x)$ 在整个实数范围上。

3. 复数扩展：

   • 三角函数还可以扩展到复数域。通过欧拉公式 $e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$，可以将三角函数扩展为复变量的函数。
   • 例如，定义复数 $z=x+iy$，那么正弦函数的扩展为 $\sin (z)=\sin (x+iy)=\sin (x)\cosh (y)+i\cos (x)\sinh (y)$，这里 $\cosh$ 和 $\sinh$ 分别是双曲余弦和双曲正弦函数。

4. 反函数的扩展：

   • 三角函数的反函数（如反正弦、反余弦、反正切）通常有有限的定义域。例如，反正弦函数 ${\sin }^{-1}(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[-\pi /2,\pi /2]$。
   • 通过考虑这些函数的周期性，可以将其值域扩展到更广范围。

5. 特定应用场景：

   • 在一些应用中，特别是信号处理和傅里叶分析中，三角函数的定义域需要扩展到整个实数集，以处理无限时间范围内的信号。

举个具体例子，如果你想将正弦函数从基本定义域 $[0,2\pi ]$ 扩展到整个实数集，可以利用它的周期性：
$$\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$$
其中 $k$ 是任何整数。因此，对于任意实数 $x$，总可以找到一个整数 $k$，使得 $x+2k\pi$ 落在 $[0,2\pi ]$ 这个区间内，从而定义 $\sin (x)$ 的值。

通过这些方法，可以有效地将三角函数的定义域扩展到更广的范围，使其适用于更多的数学和工程问题。