数学基础【俗说矩阵】：齐次线性方程和非齐次线性方程求解-学习笔记

一、矩阵基础知识

二元一次方程的传统解法

不论是代入消元法还是加减消元法都统称 【高斯消元法】。

齐次方程组和非齐次方程组

线性方程组的解

线性方程的向量展示

向量规则

矩阵的高斯消元和初等行变行及其规则

高斯消元规则

初等行变换

矩阵经初等行变换成阶梯矩阵，相当于有目标地对方程组进行高斯消元，把方程组转换为容易求解的形式。
初等行变换的步骤：

初等行变换和高斯消元的规则和对应关系

二、用矩阵求齐次线性方程和非齐次线性方程

齐次线性方程的解总结

在齐次线性方程中，如果非零行行数和求解未知数个数相等，则方程组只有零解；

在齐次线性方程中，如果非零行行数个数小于求解未知数个数，则方程组存在非零解。

当存在非零解时候，找出主变量和自由变量，然后对自由变量正交赋值，自底向上地求出主变量的值，最终求出基础解系。

1、下图中主变量为x1和x2。自由变量为x3和x4。
2、通过给x3和x4进行正交x3=1和x4=0赋值得到基础解系中的第一个向量：
3、通过给x3和x4进行反交x3=0和x4=1赋值得到基础解系中的第二个向量：

4、通过给两个基础解系进行都乘以一个任意的常数k1、k2则得到齐次方程组的通解。

齐次线性方程通解过程总结

非齐次线性方程的解总结

系数矩阵和增广矩阵

在非其次线性方程中，如果阶梯系数矩阵中非零行行数、阶梯增广矩阵中非零行行数、求解未知数个数三者相等，则方程组只有唯一解；

在非其次线性方程中，如果系数矩阵中非零行行数、增广矩阵中非零行行数两者相等但小于求解未知数个数，则方程组有无穷解；

在非其次线性方程中，如果系数矩阵中非零行行数与增广矩阵中非零行行数两者不相等，则方程组无解；

非齐次线性方程通解

具有无穷解的非齐次线性方程组的通解结果

1、把x3提取后并替换成常数K后的展示

2、非齐次线性方程组通解=齐次方程组通解+非齐次方程组的特解
3、特解向量的求法

在阶梯增广矩阵对应的方程组中，令全体自由变量为0，就能求出特解。

非齐次线性方程总结步骤和通解步骤

1、先判断非齐次线性方程组解的情况。

2、如果是无穷解，先找到主变量和自由变量，求出对应齐次方程组的基础解系也就是通解x’，然后再求出非齐次方程组的解系也就是特解n’，然后通解x’和特解n’的和就是非齐次线性方程的通解。

①、齐次方程组的解系方法就是把所有结果向量都赋值为0，然后对自由变量正交和反交赋值，得到齐次方程组的通解x’。

②、非齐次方程组的解析方法就是令全体自由变量为0，自底向上求出非齐次线性方程组的特解n’。

③、将齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解相加，就是非齐次方程组的通解。

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