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数学分析课程笔记(张平):函数

01 函数

\quad 作为数学分析的第一节课,首先深入了解一下函数。

\quad 翻看一些教材可以发现,有些教材将“函数”与“映射”区分为两个概念,有些教材(尤其是前苏联时期的一些教材)则将其视为一个概念。实际上,“函数”也的确就是“映射”。

\quad 在高中阶段,我们认为函数的概念为:若给定集合 X,YX,YX,Y,存在一个对应法则 fff,使得

∀x∈X,∃!y∈Ys.t.y=f(x),\forall ~ x \in X,~\exists ~ !y \in Y \quad s.t.\quad y=f(x),  xX,  !yYs.t.y=f(x),
则称 f:X⟶Yf:X\longrightarrow Yf:XY函数。简单来说,函数可以是“一对一”,亦可以是“多对一”,但绝不可以是“一对多”!

\quad 步入分析学的领域后,函数的概念需要进行拓广!

函数:若给定集合 X,YX,YX,Y,存在一个对应法则 fff,使得

∀x∈X,∃y∈Ys.t.y=f(x),\forall ~ x \in X,~\exists ~ y \in Y \quad s.t.\quad y=f(x),  xX,  yYs.t.y=f(x),
则称 f:X⟶Yf:X\longrightarrow Yf:XY函数。进行拓广后,函数也可以是“一对多”了。

\quad 复变函数就是典型的“一对多”函数。

\quadf:X⟶Yf:X\longrightarrow Yf:XY 为函数,即:
X→fY∀x∈X↦y∈Y,y=f(x)\begin{aligned} X &\xrightarrow{f}Y \\ \forall x\in X &\mapsto y\in Y,y=f\left( x \right) \end{aligned} XxXfYyY,y=f(x)
则:

f(X):={y∈Y∣∃x((x∈X)∧(y=f(x)))}f(X):=\{y \in Y\mid \exists ~ x ((x \in X)\land(y=f(x)))\} f(X):={yY x((xX)(y=f(x)))}

称为函数的 值域

\quad 其中,XXX 称为 定义域YYY 称为 到达域


\quad 显然,定义一个函数(或者说是映射),需要知晓:

  • 定义域 XXX
  • 对应法则 fff
  • 到达域 YYY.

\quad 微积分主要研究的是 可微函数,实变函数主要研究 可测函数。通常我们研究的函数形式为 f:X⟶Yf:X \longrightarrow Yf:XYX,Y⊂RnX,Y \subset \mathbb{R}^{n}X,YRn. 而研究这种函数,首先就要先认识 Rn\mathbb{R}^{n}Rn 或者 R\mathbb{R}R.

\quad R\mathbb{R}R 是什么东西?中学我们便接触它了,它就是 实数集。但实际上,正如我们会使用计算机,但不清楚其构造原理一般,我们缺乏对实数集 R\mathbb{R}R 的真正认识!


参考

  1. 张平. 数学分析课程.

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