数学分析课程笔记（张平）：函数

01 函数

\quad 作为数学分析的第一节课，首先深入了解一下函数。

\quad 翻看一些教材可以发现，有些教材将“函数”与“映射”区分为两个概念，有些教材（尤其是前苏联时期的一些教材）则将其视为一个概念。实际上，“函数”也的确就是“映射”。

\quad 在高中阶段，我们认为函数的概念为：若给定集合 $X,Y$，存在一个对应法则 $f$，使得

$$\forall x\in X,\exists !y\in Ys.t.y=f(x),$$
则称 $f:X⟶Y$ 为 函数。简单来说，函数可以是“一对一”，亦可以是“多对一”，但绝不可以是“一对多”！

\quad 步入分析学的领域后，函数的概念需要进行拓广！

函数：若给定集合 $X,Y$，存在一个对应法则 $f$，使得

$$\forall x\in X,\exists y\in Ys.t.y=f(x),$$
则称 $f:X⟶Y$ 为 函数。进行拓广后，函数也可以是“一对多”了。

\quad 复变函数就是典型的“一对多”函数。

\quad 设 $f:X⟶Y$ 为函数，即：
$$\begin{array}{rl}X& \stackrel{f}{\to }Y\\ \forall x\in X& \mapsto y\in Y,y=f\left(x\right)\end{array}$$
则：

f(X):={y∈Y∣∃x((x∈X)∧(y=f(x)))}f(X):=\{y \in Y\mid \exists ~ x ((x \in X)\land(y=f(x)))\} f(X):={y∈Y∣∃ x((x∈X)∧(y=f(x)))}

称为函数的 值域。

\quad 其中，$X$ 称为 定义域，$Y$ 称为 到达域。

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\quad 显然，定义一个函数（或者说是映射），需要知晓：

• 定义域 $X$；
• 对应法则 $f$；
• 到达域 $Y$.

\quad 微积分主要研究的是 可微函数，实变函数主要研究 可测函数。通常我们研究的函数形式为 $f:X⟶Y$，$X,Y\subset {\mathbb{R}}^n$. 而研究这种函数，首先就要先认识 ${\mathbb{R}}^n$ 或者 $\mathbb{R}$.

\quad $\mathbb{R}$ 是什么东西？中学我们便接触它了，它就是 实数集。但实际上，正如我们会使用计算机，但不清楚其构造原理一般，我们缺乏对实数集 $\mathbb{R}$ 的真正认识！

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参考：

1. 张平. 数学分析课程.