数据结构与算法 - B树

一、概述

1. 历史

B树(B-Tree)结构是一种高效存储和查询数据的方法，它的历史可以追溯到1970年代早期。B树的发明人Rudolf Bayer和Edward M. McCreight分别发表了一篇论文介绍了B树。这篇论文是1972年发表于《ACM Transactions on Database Systems》中的，题目为“Organization and Maintenance of Large Ordered Indexes”。

这篇论文提出了一种能够高效地维护大型有序索引的方法，这种方法的主要思想是将每个节点扩展成多个子节点，以减少查找所需的次数。B树结构非常适合应用于磁盘等大型存储器的高效操作，被广泛应用于关系数据库和文件系统中。

B树结构有很多变种和升级版，例如B+树、B*树和SB树等。这些变种和升级版本都基于B树的核心思想，通过调整B树的参数和结构，提高了B树在不同场景下的性能表现。

总的来说，B树结构是一个非常重要的数据结构，为高效存储和查询大量数据提供了可靠的方法。它的历史可以追溯到上个世纪70年代，而且在今天仍然被广泛应用于各种场景。

2. B的含义

B树的名称是由其发明者Rudolf Bayer提出的。Bayer和McCreight从未解释B代表什么，人们提出了许多可能的解释，比如Boeing、balance、between、broad、bushy和Bayer等。但McCreight表示，越是思考B-trees中的B代表什么，就越能更好地理解B-trees。

3. 特性

一棵B-树具有以下性质

特性1：每个节点x具有

• 属性n，表示节点x中key的个数
• 属性leaf，表示节点是否是叶子节点
• 节点key可以有多个，以升序存储

特性2：每个非叶子节点中的孩子数是n + 1、叶子节点没有孩子

特性3：最小度数t（节点的孩子数称为度）和节点中键数量的关系如下：

最小度数t	键数量范围
2	1 ~ 3
3	2 ~ 5
4	3 ~ 7
...	...
n	(n-1) ~ (2n-1)

其中，当节点中键数量达到其最大值时，即3、5、7··· 2n - 1，需要分裂

特性4：叶子节点的深度都相同

问题1：B-树为什么有最小度数的限制？

答：B树种有最小度数的限制是为了保证B树的平衡特性。

在B树中，每个节点都可以有多个子节点，这使得B树可以存储大量的键值，但也带来了一些问题。如果节点的子节点数量太少，那么就可能导致B树的高度过高，从而降低了B树的效率。此外，如果节点的子节点数量太多，那么就可能导致节点的搜索、插入和删除操作变得复杂和低效。

最小度数的限制通过限制节点的子节点数量，来平衡这些问题。在B树种，每个节点的子节点数量都必须在一定的范围内，即t到2t之间（其中t为最小度数）

4. B-树与2-3树、2-3-4树的关系

可以这样总计它们之间的关系：

• 2-3树是最小度数为2的B树，其中每个节点可以包含2个或3个子节点
• 2-3-4树是最小度数为2的B树的一种特殊情况，其中每个节点可以包含2个、3个或4个子节点
• B树是一种更加一般化的平衡树，可以适应不同的应用场景，其节点可以包含任意数量的键值，节点的度数取决于最小度数t的设定。

二、实现

1. 定义节点

static class Node {boolean leaf = true;int keyNumber;int t;int[] keys;Node[] children;    public Node(int t) {this.t = t;this.keys = new int[2 * t - 1];this.children = new Node[2 * t];}@Overridepublic String toString() {return Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(keys, 0, keyNumber));}
}

• leaf表示是否是叶子节点
• keyNumber为keys中有效key数目
• t为最小度数，它决定了节点中key的最小、最大数目，分别是t - 1 和 2t - 1
• keys存储此节点的key
• children存储此节点的child
• toString只是为了方便调试和测试，非必须
• 实际keys应当改为entries以便同时保存key和value，刚开始简化实现

2. 多路查找

为上面节点添加get方法

        /*** 多路查找* @param key* @return*/public Node get(int key) {int i = 0;while(i < keyNumber) {if(keys[i] == key) {return this;}if(keys[i] > key) {break;}i++;}// 执行到此时，keys[i] > key 或 i==keyNumberif(leaf) {return null;}// 非叶子节点情况return children[i].get(key);}

3. 插入key和child

为上面节点类添加insertKey和insertChild方法

        /*** 向keys指定索引处插入key* @param key* @param index*/public void insertKey(int key, int index) {System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);keys[index] = key;keyNumber++;}/*** 向children指定索引处插入child* @param child* @param index*/public void insertChild(Node child, int index) {System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);children[index] = child;}

作用是向keys数组或children数组指定index处插入新数据，注意

①由于使用了静态数组，并且不会在新增或删除时改变它的大小，因此需要额外的keyNumber来指定数组内有效key的数目

• 插入时keyNumber++
• 删除时减少keyNumber的值即可

②children不会单独维护数目，它比keys多一个

③如果这两个方法同时调用，注意它们的先后顺序，insertChild后调用，因为它计算复制元素时用到了keyNumber

4. 定义树

public class BTree {final int t;final int MIN_KEY_NUMBER;final int MAX_KEY_NUMBER;Node root;public BTree() {this(2);}public BTree(int t) {this.t = t;MIN_KEY_NUMBER = t - 1;MAX_KEY_NUMBER = 2 * t - 1;root = new Node(t);}
}

5. 插入

    /*** 新增* @param key*/public void put(int key) {doPut(root, key, null, 0);}private void doPut(Node node, int key, Node parent, int index) {// 1. 查找本节点的插入位置iint i = 0;while(i < node.keyNumber) {if(node.keys[i] == key) {// 更新return;}if(node.keys[i] > key) {break;  // 找到插入位置，即为此时的i}i++;}// 2. 如果节点是叶子节点，可以直接插入了if(node.leaf) {node.insertKey(key, i);// 上限}// 3. 如果节点是非叶子节点，需要在children[i]处继续递归插入else {doPut(node.children[i], key, node, i);// 上限}if(isFull(node)) {split(node, parent, index);}}boolean isFull(Node node) {return node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER;}

首先查找本节点中的插入位置i，如果没有空位（key被找到），应该走更新的逻辑，目前什么没做

接下来分两种情况：

• 如果节点是叶子节点，可以直接插入了
• 如果节点是非叶子节点，需要在children[i]处继续递归插入

无论哪种情况，插入完成后都可能超过节点keys数目限制，此时应当执行节点分裂

• 参数中的parent和index都是给分裂方法用的，代表当前节点父节点，和分裂节点都是第几个孩子

判断依据为：

boolean isFull(Node node) {return node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER;
}

6. 分裂

    /*** 分裂* @param left 要分裂的节点* @param parent 分裂节点的父节点* @param index 分裂节点是第几个孩子*/private void split(Node left, Node parent, int index) {// 分裂节点为根节点if(parent == null) {Node newRoot = new Node(t);newRoot.leaf = false;newRoot.insertChild(left, 0);this.root = newRoot;parent = newRoot;}// 1. 创建right节点，把left节点中t之后的key和child移动过去Node right = new Node(t);// 新增节点是否是叶子节点与待分裂节点一致right.leaf = left.leaf;System.arraycopy(left.keys, t, right.keys, 0, t - 1);// 如果分裂节点为非叶子节点if(!left.leaf) {System.arraycopy(left.children, t, right.children, 0, t);}right.keyNumber = t - 1;left.keyNumber = t - 1;// 2. 中间的key（t - 1处）插入到父节点int mid = left.keys[t - 1];parent.insertKey(mid, index);// 3. right节点作为父节点的孩子parent.insertChild(right, index + 1);}

分为两种情况：

①如果parent == null，表示要分裂的是根节点，此时需要创建新根，原来的根节点作为新根的0孩子

②否则

• 创建right节点（分裂后大于当前left节点的）把t以后的key和child都拷贝过去
• t - 1处的key插入到parent的index处，index指left作为孩子时的索引
• right节点作为parent的孩子插入到index+1处

7. 删除

case 1：当前节点是叶子节点，没找到

case 2：当前节点是叶子节点，找到了

case 3：当前节点是非叶子节点，没找到

case 4：当前节点是非叶子节点，找到了

case 5：删除后key数目 < 下限（不平衡）

case 6：根节点

Node节点类添加一些方法：

        /*** 向keys指定索引处插入key* @param key* @param index*/public void insertKey(int key, int index) {System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);keys[index] = key;keyNumber++;}/*** 向children指定索引处插入child* @param child* @param index*/public void insertChild(Node child, int index) {System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);children[index] = child;}/*** 移除指定index处的key* @param index* @return*/int removeKey(int index) {int t = keys[index];System.arraycopy(keys, index + 1, keys, index, --keyNumber - index);return t;}/*** 移除最左边的key* @return*/public int removeLeftmostKey() {return removeKey(0);}/*** 移除最右边的key* @return*/public int removeRightmostKey() {return removeKey(keyNumber - 1);}/*** 移除指定index处的child* @param index* @return*/public Node removeChild(int index) {Node t = children[index];System.arraycopy(children, index + 1, children, index, keyNumber - index);children[keyNumber] = null;  // help GCreturn t;}/*** 移除最左边的child* @return*/public Node removeLeftmostChild() {return removeChild(0);}/*** 移除最右边的child* @return*/public Node removeRightmostChild() {return removeChild(keyNumber);}/*** index 孩子处左边的兄弟* @param index* @return*/public Node childLeftSibling(int index) {return index > 0 ? children[index - 1] : null;}/*** index 孩子处右边的兄弟* @param index* @return*/public Node childRightSibling(int index) {return index == keyNumber ? null : children[index + 1];}/*** 复制当前节点的所有key和child到target* @param target*/public void moveToTarget(Node target) {int start = target.keyNumber;if(!leaf) {for (int i = 0; i <= keyNumber; i++) {target.children[start + i] = children[i];}}for (int i = 0; i < keyNumber; i++) {target.keys[target.keyNumber++] = keys[i];}}

删除代码：

    /*** 删除key* @param key*/public void remove(int key) {doRemove(null, root, 0, key);}private void doRemove(Node parent, Node node, int index, int key) {int i = 0;// 在有效范围内while(i < node.keyNumber) {if(node.keys[i] >= key) {break;}i++;}// 情况1：找到，i代表待删除key的索引// 情况2：没找到，i代表到第i个孩子继续查找if (node.leaf) {  // 当前节点是叶子节点if(!found(node,key, i)) {  // case 1 没找到return;} else {  // case 2 找到了node.removeKey(i);}} else {  // 当前节点不是叶子节点if(!found(node,key, i)) {  // case 3 没找到// 到孩子节点继续查找doRemove(node, node.children[i], i, key);} else {  // case 4 找到了// 1. 找后继keyNode s = node.children[i + 1];  // 当前节点的后一个孩子while(!s.leaf) {// 直到叶子节点，取最左边的s = s.children[0];}int skey = s.keys[0];// 2. 替换待删除keynode.keys[i] = skey;// 3. 删除后继keydoRemove(node, node.children[i + 1], i + 1, skey);}}// 删除后key数目小于下限if(node.keyNumber < MIN_KEY_NUMBER) {// 调整平衡 case 5 case 6balance(parent, node, index);}}/*** 是否找到key* @param node* @param key* @param i* @return*/private boolean found(Node node, int key, int i) {return i < node.keyNumber && node.keys[i] == key;}/*** 调整平衡* @param parent 父节点* @param x 待调整节点* @param i 索引*/private void balance(Node parent, Node x, int i) {// case 6 根节点if(x == root) {if(root.keyNumber == 0 && root.children[0] != null) {root = root.children[0];}return;}// 获取左右两边的兄弟Node left = parent.childLeftSibling(i);Node right = parent.childRightSibling(i);if(left != null && left.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {// case 5-1 左边富裕，右旋// a) 父节点中前驱key旋转下来x.insertKey(parent.keys[i - 1], 0);if(!left.leaf) {// b) 左边的兄弟不是叶子节点，把最右侧的孩子过继给被调整的节点x.insertChild(left.removeRightmostChild(), 0);}// c) 删除左边兄弟的最右节点，移到父节点（旋转上去）parent.keys[i - 1] = left.removeRightmostKey();return;}if(right != null && right.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {// case 5-2 右边富裕，左旋// a) 父节点中后去key旋转下来x.insertKey(parent.keys[i], x.keyNumber);if(!right.leaf) {// b) 右边的兄弟不是叶子节点，把最左侧的孩子过继给被调整的节点x.insertChild(right.removeLeftmostChild(), x.keyNumber + 1);}// c) 删除右边兄弟的最左节点，移到父节点（旋转上去）parent.keys[i] = right.removeLeftmostKey();return;}// case 5-3 两边都不富裕，向左合并if(left != null) {// 向左兄弟合并// 将待删除节点从父节点移除parent.removeChild(i);// 从父节点合并一个key到左兄弟left.insertKey(parent.removeKey(i - 1), left.keyNumber);// 将待删除节点的剩余节点和孩子移到到左边x.moveToTarget(left);} else {// 没有左兄弟，向自己合并// 把它的右兄弟移除parent.removeChild(i + 1);// 父节点移除一个key，插入到待删除节点x.insertKey(parent.removeKey(i), x.keyNumber);// 将右兄弟合并过来right.moveToTarget(x);}}

8. 完整代码

package com.itheima.datastructure.BTree;import java.util.Arrays;public class BTree {static class Node {int[] keys;  // 关键字Node[] children;  // 孩子int keyNumber;  // 有效关键字数目boolean leaf = true;  // 是否是叶子节点int t; // 最小度数public Node(int t) {  // t >= 2this.t = t;this.children = new Node[2 * t];this.keys = new int[2 * t - 1];}public Node(int[] keys) {this.keys = keys;}@Overridepublic String toString() {return Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(keys, 0, keyNumber));}/*** 多路查找* @param key* @return*/public Node get(int key) {int i = 0;while(i < keyNumber) {if(keys[i] == key) {return this;}if(keys[i] > key) {break;}i++;}// 执行到此时，keys[i] > key 或 i==keyNumberif(leaf) {return null;}// 非叶子节点情况return children[i].get(key);}/*** 向keys指定索引处插入key* @param key* @param index*/public void insertKey(int key, int index) {System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);keys[index] = key;keyNumber++;}/*** 向children指定索引处插入child* @param child* @param index*/public void insertChild(Node child, int index) {System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);children[index] = child;}/*** 移除指定index处的key* @param index* @return*/int removeKey(int index) {int t = keys[index];System.arraycopy(keys, index + 1, keys, index, --keyNumber - index);return t;}/*** 移除最左边的key* @return*/public int removeLeftmostKey() {return removeKey(0);}/*** 移除最右边的key* @return*/public int removeRightmostKey() {return removeKey(keyNumber - 1);}/*** 移除指定index处的child* @param index* @return*/public Node removeChild(int index) {Node t = children[index];System.arraycopy(children, index + 1, children, index, keyNumber - index);children[keyNumber] = null;  // help GCreturn t;}/*** 移除最左边的child* @return*/public Node removeLeftmostChild() {return removeChild(0);}/*** 移除最右边的child* @return*/public Node removeRightmostChild() {return removeChild(keyNumber);}/*** index 孩子处左边的兄弟* @param index* @return*/public Node childLeftSibling(int index) {return index > 0 ? children[index - 1] : null;}/*** index 孩子处右边的兄弟* @param index* @return*/public Node childRightSibling(int index) {return index == keyNumber ? null : children[index + 1];}/*** 复制当前节点的所有key和child到target* @param target*/public void moveToTarget(Node target) {int start = target.keyNumber;if(!leaf) {for (int i = 0; i <= keyNumber; i++) {target.children[start + i] = children[i];}}for (int i = 0; i < keyNumber; i++) {target.keys[target.keyNumber++] = keys[i];}}}Node root;  // 根节点int t;  // 树中节点最小度数final int MIN_KEY_NUMBER;  // 最小key数目final int MAX_KEY_NUMBER;  // 最大key数目public BTree() {this(2);}public BTree(int t) {this.t = t;root = new Node(t);MAX_KEY_NUMBER = 2 * t - 1;MIN_KEY_NUMBER = t - 1;}/*** key是否存在* @param key* @return*/public boolean contains(int key) {return root.get(key) != null;}/*** 新增* @param key*/public void put(int key) {doPut(root, key, null, 0);}private void doPut(Node node, int key, Node parent, int index) {// 1. 查找本节点的插入位置iint i = 0;while(i < node.keyNumber) {if(node.keys[i] == key) {// 更新return;}if(node.keys[i] > key) {break;  // 找到插入位置，即为此时的i}i++;}// 2. 如果节点是叶子节点，可以直接插入了if(node.leaf) {node.insertKey(key, i);// 上限}// 3. 如果节点是非叶子节点，需要在children[i]处继续递归插入else {doPut(node.children[i], key, node, i);// 上限}if(isFull(node)) {split(node, parent, index);}}boolean isFull(Node node) {return node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER;}/*** 分裂* @param left 要分裂的节点* @param parent 分裂节点的父节点* @param index 分裂节点是第几个孩子*/private void split(Node left, Node parent, int index) {// 分裂节点为根节点if(parent == null) {Node newRoot = new Node(t);newRoot.leaf = false;newRoot.insertChild(left, 0);this.root = newRoot;parent = newRoot;}// 1. 创建right节点，把left节点中t之后的key和child移动过去Node right = new Node(t);// 新增节点是否是叶子节点与待分裂节点一致right.leaf = left.leaf;System.arraycopy(left.keys, t, right.keys, 0, t - 1);// 如果分裂节点为非叶子节点if(!left.leaf) {System.arraycopy(left.children, t, right.children, 0, t);}right.keyNumber = t - 1;left.keyNumber = t - 1;// 2. 中间的key（t - 1处）插入到父节点int mid = left.keys[t - 1];parent.insertKey(mid, index);// 3. right节点作为父节点的孩子parent.insertChild(right, index + 1);}/*** 删除key* @param key*/public void remove(int key) {doRemove(null, root, 0, key);}private void doRemove(Node parent, Node node, int index, int key) {int i = 0;// 在有效范围内while(i < node.keyNumber) {if(node.keys[i] >= key) {break;}i++;}// 情况1：找到，i代表待删除key的索引// 情况2：没找到，i代表到第i个孩子继续查找if (node.leaf) {  // 当前节点是叶子节点if(!found(node,key, i)) {  // case 1 没找到return;} else {  // case 2 找到了node.removeKey(i);}} else {  // 当前节点不是叶子节点if(!found(node,key, i)) {  // case 3 没找到// 到孩子节点继续查找doRemove(node, node.children[i], i, key);} else {  // case 4 找到了// 1. 找后继keyNode s = node.children[i + 1];  // 当前节点的后一个孩子while(!s.leaf) {// 直到叶子节点，取最左边的s = s.children[0];}int skey = s.keys[0];// 2. 替换待删除keynode.keys[i] = skey;// 3. 删除后继keydoRemove(node, node.children[i + 1], i + 1, skey);}}// 删除后key数目小于下限if(node.keyNumber < MIN_KEY_NUMBER) {// 调整平衡 case 5 case 6balance(parent, node, index);}}/*** 是否找到key* @param node* @param key* @param i* @return*/private boolean found(Node node, int key, int i) {return i < node.keyNumber && node.keys[i] == key;}/*** 调整平衡* @param parent 父节点* @param x 待调整节点* @param i 索引*/private void balance(Node parent, Node x, int i) {// case 6 根节点不平衡if(x == root) {if(root.keyNumber == 0 && root.children[0] != null) {root = root.children[0];}return;}// 获取左右两边的兄弟Node left = parent.childLeftSibling(i);Node right = parent.childRightSibling(i);if(left != null && left.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {// case 5-1 左边富裕，右旋// a) 父节点中前驱key旋转下来x.insertKey(parent.keys[i - 1], 0);if(!left.leaf) {// b) 左边的兄弟不是叶子节点，把最右侧的孩子过继给被调整的节点x.insertChild(left.removeRightmostChild(), 0);}// c) 删除左边兄弟的最右节点，移到父节点（旋转上去）parent.keys[i - 1] = left.removeRightmostKey();return;}if(right != null && right.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {// case 5-2 右边富裕，左旋// a) 父节点中后去key旋转下来x.insertKey(parent.keys[i], x.keyNumber);if(!right.leaf) {// b) 右边的兄弟不是叶子节点，把最左侧的孩子过继给被调整的节点x.insertChild(right.removeLeftmostChild(), x.keyNumber + 1);}// c) 删除右边兄弟的最左节点，移到父节点（旋转上去）parent.keys[i] = right.removeLeftmostKey();return;}// case 5-3 两边都不富裕，向左合并if(left != null) {// 向左兄弟合并// 将待删除节点从父节点移除parent.removeChild(i);// 从父节点合并一个key到左兄弟left.insertKey(parent.removeKey(i - 1), left.keyNumber);// 将待删除节点的剩余节点和孩子移到到左边x.moveToTarget(left);} else {// 没有左兄弟，向自己合并// 把它的右兄弟移除parent.removeChild(i + 1);// 父节点移除一个key，插入到待删除节点x.insertKey(parent.removeKey(i), x.keyNumber);// 将右兄弟合并过来right.moveToTarget(x);}}}

B站视频链接：基础算法-175-B树-remove-演示2_哔哩哔哩_bilibili