《数字信号处理》学习04-离散时间系统中的线性时不变系统
目录
一,系统及离散时间系统
二,离散时间系统中的线性时不变系统
1,线性系统
1) 可加性
2) 比例性(齐次性)
3)叠加原理(叠加性质)
2,时不变系统(移不变系统)
通过前几篇文章的学习,此时我对序列的相关概念和运算已经有所掌握,接下来我将开始学习新的概念“离散时间系统中的线性时不变系统”,
一,系统及离散时间系统
首先需要知道系统的概念,在《信号与系统》中,系统是一个具有特定功能的整体,由相互关联的事物组合而成。
由于需要处理的信号基本是离散时间信号(既序列),因此,在这篇文章中我着重学习用于处理序列的离散时间系统。
离散时间系统是指其输入和输出信号都是离散的时间序列。
离散时间系统可以将输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n) ,因此可以用 表示这种系统,其中:
- T :transform 变换,输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n) 。
- 中间的点号
用来表示输入的序列
- 例如:“将输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n)”就可以用
表示。
输出序列一般 用 英文字母 y 指代,y 是 yield 的缩写,yield 有产出,产生,产量的意思。 - 不同的离散时间系统会对 输入序列
做不同的操作,例如,只在输入信号
前面乘上系数
的离散时间系统 :
,或者是将输入信号
取平方的离散时间系统:
需要注意的是:“将输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n)” 这是一种运算,因此,离散时间系统就是一种运算。可以用下图表示:

二,离散时间系统中的线性时不变系统
线性时不变系统由两部分组成:线性系统+时不变系统。
先学习线性系统。
1,线性系统
首先需要知道什么是线性,在大学里面会有《高等数学》课,涉及到线性齐次(或非齐次)微分方程,还有《线性代数》课,可以看到,熟知线性的概念很重要。
线性:就是具有线的特性,而这个线就是直线,在列直线方程时都是使用一次方程,因此,“线性” 跟“一次”挂钩,在运算时,所涉及到的变量都必须是一次项,如果有二次及以上次数的项出现,那么就是非线性。
在《数字信号处理》中,“线性” 一词出现在 “线性系统” 中,当一个系统满足叠加原理(或叠加性质),就是一个线性系统。
线性系统的叠加原理包括比例性和可加性这两个特性。
假设有两个不同的输入序列 和
分别作用于 离散时间系统
,得到离散时间系统
分别 对这两个输入序列的响应 序列
和
,令
1) 可加性
将两个响应序列相加:
现在,让这两个不同的序列 和
同时作用于离散时间系统
,得到离散时间系统
同时对这两个输入序列的响应序列
,令
两个不同的输入序列 和
,不管是分别作用于 离散时间系统
还是同时作用于 离散时间系统
,相加后的响应序列相等,则这个系统满足可加性:
2) 比例性(齐次性)
将两个不同的输入序列 和
分别乘上不同系数
并作用于离散时间系统
如果得到的响应序列满足 ,则这个系统满足比例性(齐次性)
3)叠加原理(叠加性质)
将系统满足 可加性 及 比例性 的公式合二为一,得到线性系统满足叠加原理的公式,如下👇
上面的公式是以两个输入序列为例,列出的公式,但是对于一个线性系统来说,可以有两个及两个以上的输入序列作用于该线性系统,假设有个输入序列作用于线性系统,则响应的也会有
个响应序列输出,公式可以写成如下形式:
线性系统肯定满足:“零输入产生零输出”(当输入序列
的序列值全为0时,0乘任何数都为0,并且,多个0相加的结果也是0,所以响应序列
的序列值也全为0)
知道了线性系统的相关概念,我现在可以开始理论和实践相结合,做一道题:

由题目可以看到,输入序列
作用于的离散时间系统
,是先将输入序列
乘上系数2,接着将序列
上移5个时间单位,最后得到响应序列
。
需要注意的是,在做题的过程中,要一直牢记:离散时间系统是对 输入序列
的响应
个人解:先运用可加性的公式判断该系统是否满足可加性
由于,而
所以,因此该系统不满足可加性,不是线性系统,是非线性系统。
书上解:

2,时不变系统(移不变系统)
时不变系统是指,无论输入序列在时间上何时作用于离散时间系统
,系统的响应
仅与输入信号
的形状和时间延迟有关,而与输入信号
的实际时间无关。换句话说,如果输入信号
的时间延迟了
个单位时间,则系统的输出
也会相应地延迟
个单位时间,即
。
如果一个系统的输入输出满足式 ,那么它就是一个时不变系统。
开始上题👇

解:让乘了系数 n 的输入序列 作用于延时
个单位时间的离散时间系统,即
接着也让响应序列 延时
个单位时间,得到
可以看到,,因此该系统是时变系统。
书上的解答:

如果一个系统既是线性系统,又是时不变系统,那么就可以称这个系统为线性时不变系统(LTI:linear 线性的 time 时间的 invariable不变的)
有问题请在评论区留言或者是私信我,回复时间不超过一天。
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