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《数字信号处理》学习04-离散时间系统中的线性时不变系统

news 2026/1/2 22:51:13

一，系统及离散时间系统

二，离散时间系统中的线性时不变系统

1，线性系统

1) 可加性

2) 比例性(齐次性)

3）叠加原理(叠加性质)

2，时不变系统(移不变系统)

通过前几篇文章的学习，此时我对序列的相关概念和运算已经有所掌握，接下来我将开始学习新的概念“离散时间系统中的线性时不变系统”，

一，系统及离散时间系统

首先需要知道系统的概念，在《信号与系统》中，系统是一个具有特定功能的整体，由相互关联的事物组合而成。

由于需要处理的信号基本是离散时间信号（既序列），因此，在这篇文章中我着重学习用于处理序列的离散时间系统。

离散时间系统是指其输入和输出信号都是离散的时间序列。

离散时间系统可以将输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n) ，因此可以用 $T\left [ \cdot \right ]$ 表示这种系统，其中：

T ：transform 变换，输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n) 。
中间的点号 $\cdot$ 用来表示输入的序列
例如：“将输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n)”就可以用 $y(n)=T\left [ x(n) \right ]$ 表示。
输出序列一般用英文字母 y 指代，y 是 yield 的缩写，yield 有产出，产生，产量的意思。
不同的离散时间系统会对输入序列 $x(n)$ 做不同的操作，例如，只在输入信号 $x(n)$ 前面乘上系数 $n$ 的离散时间系统： $y(n)=T\left [ x(n) \right ]=nx(n)$ ，或者是将输入信号 $x(n)$ 取平方的离散时间系统： $y(n)=T\left [ x(n) \right ]=x^{2}(n)$

需要注意的是：“将输入序列 x(n) 变换成输出序列 y(n)” 这是一种运算，因此，离散时间系统就是一种运算。可以用下图表示：

二，离散时间系统中的线性时不变系统

线性时不变系统由两部分组成：线性系统+时不变系统。

先学习线性系统。

1，线性系统

首先需要知道什么是线性，在大学里面会有《高等数学》课，涉及到线性齐次(或非齐次)微分方程，还有《线性代数》课，可以看到，熟知线性的概念很重要。

线性：就是具有线的特性，而这个线就是直线，在列直线方程时都是使用一次方程，因此，“线性” 跟“一次”挂钩，在运算时，所涉及到的变量都必须是一次项，如果有二次及以上次数的项出现，那么就是非线性。

在《数字信号处理》中，“线性” 一词出现在 “线性系统” 中，当一个系统满足叠加原理（或叠加性质），就是一个线性系统。

线性系统的叠加原理包括比例性和可加性这两个特性。

假设有两个不同的输入序列 $x_{1}(n)$ 和 $x_{2}(n)$ 分别作用于离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ ,得到离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ 分别对这两个输入序列的响应序列 $T\left [ x_{1}(n) \right ]$ 和 $T\left [ x_{2}(n) \right ]$ ，令 $y_{1}(n)=T\left [ x_{1}(n) \right ],y_{2}(n)=T\left [ x_{2}(n) \right ]$

1) 可加性

将两个响应序列相加： $T\left [ x_{1}(n) \right ]+T\left [ x_{2}(n) \right ]=y_{1}(n)+y_{2}(n)$

现在，让这两个不同的序列 $x_{1}(n)$ 和 $x_{2}(n)$ 同时作用于离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ ，得到离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ 同时对这两个输入序列的响应序列 $T\left [ x_{1}(n)+ x_{2}(n)\right ]$ ，令

$T\left [ x_{1}(n)+ x_{2}(n)\right ]=y(n)$

两个不同的输入序列 $x_{1}(n)$ 和 $x_{2}(n)$ ，不管是分别作用于离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ 还是同时作用于离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ ，相加后的响应序列相等，则这个系统满足可加性： $T\left [ x_{1}(n)+ x_{2}(n)\right ]=y(n)=y_{1}(n)+y_{2}(n)$

2) 比例性(齐次性)

将两个不同的输入序列 $x_{1}(n)$ 和 $x_{2}(n)$ 分别乘上不同系数 $a_{1},a_{2}$ 并作用于离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$

如果得到的响应序列满足 $T\left [ a_{1}x_{1}(n)\right ]=a_{1}y_{1}(n),T\left [ a_{2}x_{2}(n)\right ]=a_{2}y_{2}(n)$ ，则这个系统满足比例性(齐次性)

3）叠加原理(叠加性质)

将系统满足可加性及比例性的公式合二为一，得到线性系统满足叠加原理的公式，如下👇

$T\left [ a_{1}x_{1}(n)+ a_{2}x_{2}(n)\right ]=a_{1}y_{1}(n)+a_{2}y_{2}(n)$

上面的公式是以两个输入序列为例，列出的公式，但是对于一个线性系统来说，可以有两个及两个以上的输入序列作用于该线性系统，假设有 $N$ 个输入序列作用于线性系统，则响应的也会有 $N$ 个响应序列输出，公式可以写成如下形式：

$T\left [ \sum_{i=1}^{N}a_{i}x_{i}(n) \right ]= \sum_{i=1}^{N}a_{i}y_{i}(n)$

线性系统肯定满足：“零输入产生零输出”（当输入序列 $x(n)$ 的序列值全为0时，0乘任何数都为0，并且，多个0相加的结果也是0，所以响应序列 $y(n)$ 的序列值也全为0）

知道了线性系统的相关概念，我现在可以开始理论和实践相结合，做一道题：

由题目可以看到，输入序列 $x(n)$ 作用于的离散时间系统 $T\left [ \cdot \right ]$ ，是先将输入序列 $x(n)$ 乘上系数2，接着将序列 $2x(n)$ 上移5个时间单位,最后得到响应序列 $y(n)$ 。

需要注意的是，在做题的过程中，要一直牢记：离散时间系统是对输入序列 $x(n)$ 的响应

个人解：先运用可加性的公式判断该系统是否满足可加性

$T\left [ x_{1}(n) \right ]=2x_{1}(n)+5=y_{1}(n)$

$T\left [ x_{2}(n) \right ]=2x_{2}(n)+5=y_{2}(n)$

$T\left [ x_{1}(n)+x_{2}(n) \right ]=2(x_{1}(n)+x_{2}(n))+5=2x_{1}(n)+2x_{2}(n)+5=y_{3}(n)$

由于 $y_{1}(n)+y_{2}(n)=2x_{1}(n)+2x_{2}(n)+10$ ，而 $y_{3}(n)=2x_{1}(n)+2x_{2}(n)+5$

所以 $y_{1}(n)+y_{2}(n)\neq y_{3}(n)$ ，因此该系统不满足可加性，不是线性系统，是非线性系统。

书上解：

2，时不变系统(移不变系统)

时不变系统是指，无论输入序列 $x(n)$ 在时间上何时作用于离散时间系统 $T[\cdot ]$ ，系统的响应 $y(n)$ 仅与输入信号 $x(n)$ 的形状和时间延迟有关，而与输入信号 $x(n)$ 的实际时间无关。换句话说，如果输入信号 $x(n)$ 的时间延迟了 $n_{0}$ 个单位时间，则系统的输出 $y(n)$ 也会相应地延迟 $n_{0}$ 个单位时间，即 $y(n)=T\left [x(n-m) \right ]=y(n-m)$ 。