从0开始深度学习（4）——线性回归概念

1 线性回归

回归（regression）指能为一个或多个自变量与因变量之间的关系进行建模。

1.1 线性模型

线性假设是指目标可以表示为特征的加权和，以房价和面积、房龄为例，可以有下面的式子：

w称为权重（weight）
b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）
给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重和偏置， 使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。

1.2 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。

常用的损失函数：

• 均方误差（Mean Squared Error, MSE）：主要用于回归问题。
• 交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）：常用于分类问题。
• 绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）：用于回归问题。
• 铰链损失（Hinge Loss）：主要用于最大间隔分类器如支持向量机（SVM）。
• 指数损失（Exponential Loss）：用于分类问题。
• Huber 损失（Huber Loss）：结合了 MSE 和 MAE 的优点，在误差较小时类似于 MSE，误差较大时类似于 MAE。
• Kullback-Leibler 散度（KL Divergence）：用于衡量两个概率分布之间的差异

1.3解析解

解析解（Analytical Solution） 是指通过数学公式直接计算得到的最佳拟合参数的方法，而不是通过迭代优化算法来逐步逼近最优解。

1.4 随机梯度下降

在我们无法得到解析解的情况下，我们用到一种名为梯度下降（gradient descent） 的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型， 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

简单的用法是计算损失函数关于模型参数的导数，但实际中的执行可能会非常慢，因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量B (batch size) ， 它是由固定数量的训练样本组成的。,然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数n (learning rate)，并从当前参数的值中减掉。

算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

4.5 用模型进行预测

略

2 矢量化加速

矢量化（Vectorization）是一种编程技术，通过将操作应用于整个数组或矩阵，而不是单独的元素，从而提高代码的执行效率。

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

例如使用Numpy模块对计算两个数组的点积

3 正态分布与平方损失

略

4 从线性回归到深度网络

略