动态规划-最长回文子串

题目描述

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的 回文子串。

对于该题使用中心扩展法在某些情况下可以比动态规划方法更优，尤其是在处理较长字符串时。这是因为中心扩展法具有更好的空间复杂度，并且在实际应用中可能具有更快的运行速度，尽管其时间复杂度与动态规划相同（均为O(n^2)）。但是本专题主要讲解动态规划算法，因此不对其过多讲解。

解题思路

当使用动态规划（Dynamic Programming, DP）方法来解决寻找字符串中最长回文子串的问题时，我们主要关注如何定义状态、状态转移方程以及边界条件。下面，我将详细讲解这个过程。

1. 定义状态

首先，我们需要定义DP数组dp，其中dp[i][j]表示字符串s中从索引i到索引j的子串（即s[i--j]）是否是回文子串。注意，这里i和j都是基于0的索引。

2. 初始化状态

• 对于所有i，dp[i][i]都是true，因为单个字符自然是回文。
• 如果字符串s的长度大于1，我们还应该初始化长度为2的子串。即，对于所有i，如果s[i] == s[i+1]，则dp[i][i+1]为true，否则为false。

3. 状态转移方程

对于长度大于2的子串s[i--j]，如果s[i] == s[j]，则当s[i--j]是回文的，那么s[i+1--j-1]也是回文。因此，状态转移方程为：

dp[i][j] = ( s[i] ==s [j] )∧dp[i+1][j−1] .

其中，i和j满足j > i + 1，以确保子串s[i+1--j-1]的长度至少为1。

4. 边界条件

• 需要注意i和j的遍历顺序。由于DP表的填充依赖于较小的子问题，我们应该从较小的子串开始，逐步扩展到较大的子串。这通常意味着外层循环遍历子串的长度（从2开始，直到整个字符串的长度），内层循环遍历起始索引i。
• 当j超出字符串s的边界时，应停止内层循环。

5. 记录最长回文子串

在填充DP表的过程中，我们可以跟踪并记录遇到的最长回文子串的起始索引和长度。

代码示例 

class Solution {
public:string longestPalindrome(string s) {int n = s.length();if (n < 2)return s; //如果字符串长度小于2，直接返回原字符串vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, false));int start = 0, maxLength = 1; //初始化最长回文子串的起始位置和长度// 初始化长度为1和2的子串for (int i = 0; i < n; ++i) {dp[i][i] = true; // 单个字符是回文if (i < n - 1 && s[i] == s[i + 1]) {dp[i][i + 1] = true;start = i;maxLength = 2; //如果找到长度为2的回文子串，则更新最长回文子串}}//填充DP表，并找到最长回文子串for (int len = 3; len <= n; ++len) { for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {int j = i + len - 1;if (s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1]) {dp[i][j] = true;start = i;       //更新最长回文子串的起始位置maxLength = len; //更新最长回文子串的长度}}}//返回最长回文子串return s.substr(start, maxLength);}
};

 中心扩展法：

class Solution {
public:string longestPalindrome(string s) {int start = 0, maxLength = 1;for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {//奇数长度的回文子串int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);//偶数长度的回文子串int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);//更新最长回文子串的起始位置和长度int len = max(len1, len2);if (len > maxLength) {start = i - (len - 1) / 2;maxLength = len;}}return s.substr(start, maxLength);}int expandAroundCenter(string& s, int left, int right) {int L = left, R = right;while (L >= 0 && R < s.length() && s[L] == s[R]) {L--;R++;}//返回以left和right为中心的回文子串的长度（注意要+1来包含中心字符）return R - L - 1;}
};

实现步骤：

1. 遍历字符串中的每个字符（以及每对相邻字符，以处理偶数长度的回文），将它们作为潜在的中心点。
2. 从中心点开始向两侧扩展，检查两侧字符是否相等，如果相等则继续扩展，直到不再相等为止。
3. 在扩展过程中，记录遇到的最长回文子串的起始位置和长度。
4. 遍历完成后，返回最长回文子串。