深度学习中的常用线性代数知识汇总——第二篇：行列式、逆矩阵、特征值与特征向量

0. 前言

按照国际惯例，首先声明：本文只是我自己学习的理解，虽然参考了他人的宝贵见解及成果，但是内容可能存在不准确的地方。如果发现文中错误，希望批评指正，共同进步。

本系列文章用于介绍深度学习中必须要掌握的线性代数基础知识，并结合了PyTorch代码实例。这是本系列文章的第二篇，相关文章链接如下：

• 第一篇：基础概念、秩、奇异值
• 第二篇：行列式、逆矩阵、特征值与特征向量（本篇）

1. 行列式

矩阵的行列式（Determinant）是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和线性变换中扮演着关键角色。行列式提供了一种量化矩阵性质的方法，特别是在解决线性方程组、计算体积变化、判断矩阵可逆性等方面具有重要意义。下面详细介绍矩阵的行列式的定义、性质及其在深度学习中的应用。

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1.1 行列式的定义

对于一个 $n\times n$ 的方阵$A$，其行列式 $\det (A)$或记作 $|A|$是一个标量值，它由矩阵的元素通过特定的方式计算得出。

1.2 行列式的计算方法

1. 2x2 矩阵
   对于一个 $2\times 2$ 的矩阵 $A$：
   $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$
   其行列式为：
   $$\det (A)=ad-bc$$

2. 3x3 矩阵
   对于一个$3\times 3$的矩阵 $A$：
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$$
   其行列式为：
   $$\det (A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$

3. 一般 $n\times n$ 矩阵
   对于$n\times n$的矩阵，可以通过递归展开的方式来计算行列式。通常选择第一行（或第一列）来进行展开。具体步骤如下：

   ①选择一行（或一列）：通常选择第一行或第一列，因为这样可以简化计算。

   ②计算辅因子：对于该行（或列）的每个元素 $a_{ij}$，计算其对应的辅因子（cofactor），记作 $A_{ij}$。辅因子$A_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行和第$j$列后剩余子矩阵的行列式乘以 $(-1{)}^{i+j}$。

   ③ 求和：将该一行（或列）的每个元素与其对应的辅因子相乘，然后求和。

PyTorch中的linalg.det()方法可以用来计算行列式，示例代码如下：

import torch# 定义一个 3x3 的矩阵 A
A = torch.tensor([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 10]],dtype=torch.float32)# 计算行列式
det_A = torch.linalg.det(A)print("Matrix A:")
print(A)
print("Determinant of A:")
print(det_A)

输出为：

Matrix A:
tensor([[ 1.,  2.,  3.],[ 4.,  5.,  6.],[ 7.,  8., 10.]])
Determinant of A:
tensor(-3.0000)

1.3 行列式的性质

行列式有许多重要的性质，这些性质使得它在理论和应用中都非常有用。

• 线性性：如果矩阵的某一行（或列）乘以一个标量 $k$，那么行列式也乘以 $k$。
• 反对称性：交换任意两行（或列）的位置，行列式的值变号。
• 零行（列）：如果矩阵有一行（或一列）全是零，则行列式为零。
• 单位矩阵：单位矩阵 $I$ 的行列式为 1。
• 对角矩阵：对角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。
• 三角矩阵：上三角矩阵或下三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。
• 可逆性：当且仅当 $\det (A)\ne 0$矩阵 $A$ 可逆。
• 相似矩阵：相似矩阵具有相同的行列式。
• 矩阵乘法：如果 $A$ 和 $B$是两个$n\times n$ 的矩阵，则$\det (AB)=\det (A)\det (B)$。

1.4 行列式在深度学习中的应用

在深度学习中，行列式主要应用于以下几个方面：

1. 判断矩阵可逆性：行列式不为零的矩阵是可逆的。这在深度学习中很重要，特别是在计算矩阵的逆时，确保矩阵是可逆的是必要的。

2. 梯度流的稳定性：行列式可以用来估计矩阵的条件数（回忆一下上一篇文章的奇异值介绍部分），从而判断矩阵的稳定性。条件数大意味着矩阵接近奇异，可能导致数值不稳定，影响梯度流。

3. 模型诊断：通过计算权重矩阵的行列式，可以诊断模型训练过程中是否存在数值不稳定或梯度消失等问题。如果行列式接近零，可能表明矩阵接近奇异，需要调整模型或优化算法。

4. 数据变换：行列式可以用来衡量线性变换对体积的影响。在深度学习中，某些变换（如卷积层中的滤波器应用）可能会影响输入数据的空间分布，行列式可以用来量化这种影响。

2. 逆矩阵

对于一个方阵而言，如果存在另一个矩阵，使得这两个矩阵相乘的结果为单位矩阵，那么这个矩阵称为原矩阵的逆矩阵。逆矩阵在解决线性方程组、矩阵求解、数据拟合、图像处理等领域都有广泛应用。下面详细介绍逆矩阵的概念、计算方法及其应用。

2.1 逆矩阵的定义

对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，如果存在另一个 $n\times n$ 的方阵 $B$，使得：
$$AB=BA=I$$
其中$I$ 是单位矩阵，那么矩阵 $B$称为矩阵 $A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。换句话说，如果矩阵 $A$与矩阵 $B$相乘的结果为单位矩阵，那么 $B$ 就是 $A$的逆矩阵。

2.2 逆矩阵的计算方法

逆矩阵的计算有以下方法：

1. 伴随矩阵法（比较复杂的方法）
   对于一个 $n\times n$ 的矩阵$A$，其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的定义为：
   $$A^{\ast }=\text{adj}(A)$$
   其中，$\text{adj}(A)$ 是 $A$的伴随矩阵，其元素为 $A$的代数余子式的转置矩阵。逆矩阵可以用伴随矩阵和行列式来表示：
   $$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}{A}^{\ast }$$
   矩阵中第 $i$ 行和第 $j$列元素对应的代数余子式是将矩阵中第 $i$ 行和第 $j$列删除后剩下的 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式，乘以 $(-1{)}^{i+j}$。

2. 行列变换法（高斯消元法）
   通过行列变换将矩阵$A$转换为单位矩阵，同时对单位矩阵$I$进行相同的变换，最终得到的矩阵即为 $A^{-1}$。

3. 矩阵分解法（LU 分解）
   如果矩阵 $A$ 可以分解为一个下三角矩阵 $L$和一个上三角矩阵 $U$的乘积，即 $A=L\cdot U$，那么可以通过求解 $L$和 $U$ 的逆矩阵来间接求得$A^{-1}$。

PyTorch中的torch.linalg.inv()方法可以用来计算逆矩阵，实例如下：

import torch# 定义一个 3x3 的矩阵 A
A = torch.tensor([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 10]],dtype=torch.float32)#计算逆矩阵
inv_A = torch.linalg.inv(A)print('inverse of A:\n', inv_A)
print('validation:\n',torch.mm(A, inv_A))

输出为：

inverse of A:tensor([[-0.6667, -1.3333,  1.0000],[-0.6667,  3.6667, -2.0000],[ 1.0000, -2.0000,  1.0000]])
validation:tensor([[ 1.0000e+00,  0.0000e+00,  2.3842e-07],[ 0.0000e+00,  1.0000e+00,  4.7684e-07],[-9.5367e-07,  1.9073e-06,  1.0000e+00]])

2.3 逆矩阵的性质

1. 唯一性：如果矩阵 $A$存在逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。
2. 存在性：只有当矩阵 $A$的行列式 $\det (A)\ne 0$时，矩阵 $A$ 才存在逆矩阵。
3. 单位矩阵的逆：单位矩阵 $I$的逆矩阵仍然是 $I$。
4. 逆的逆：如果矩阵$A$ 可逆，则 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$。
5. 转置矩阵的逆：如果矩阵 $A$可逆，则 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。
6. 乘积的逆：如果矩阵 $A$ 和 $B$ 都可逆，则 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。

2.4 逆矩阵在深度学习中的应用

直接计算逆矩阵在深度学习中并不是常见的操作，因为计算逆矩阵的时间复杂度较高，而且在数值上可能是不稳定的（看看上面PyTorch的示例，验算的结果并不是严格的单位矩阵）。

但是在一些特殊的神经网络架构中，如正交初始化或者在某些循环神经网络（RNNs）变种中，保持权重矩阵的可逆性有助于避免梯度消失或爆炸问题。此时，逆矩阵的概念会被间接应用。

3. 特征值与特征向量

3.1 特征值与特征向量的定义

给定一个$n\times n$的方阵 $A$，如果存在一个非零向量$\mathbf{v}$和一个标量 $\lambda$，使得：
$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$
则称 $\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$\mathbf{v}$ 是对应于$\lambda$的特征向量。

3.2 特征值和特征向量的计算方法

为了找到特征值，我们可以将上述方程重写为：
$$(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$$
其中$I$是单位矩阵。为了使上述方程有非零解，系数矩阵$A-\lambda I$必须是奇异的（即行列式等于0，即不是满秩矩阵）。因此，我们需要求解行列式：

$$\det (A-\lambda I)=0$$

这个行列式方程即为矩阵$A$的特征方程。解这个多项式方程就可以得到矩阵$A$的所有特征值。

PyTorch中的torch.linalg.eigh()可以用来计算特征值和特征向量，实例如下：

import torch# 假设A是对称矩阵
A = torch.tensor([[1., 2.],[2., 1.]], dtype=torch.float)# 计算矩阵A的特征值和特征向量
eigenvalues_sym, eigenvectors_sym = torch.linalg.eigh(A)# 输出特征值
print("Eigenvalues (Symmetric Matrix):\n", eigenvalues_sym)# 输出特征向量
print("Eigenvectors (Symmetric Matrix):\n", eigenvectors_sym)#进行验算
print("Validation:\n",A @ eigenvectors_sym[0] == eigenvalues_sym[0] * eigenvectors_sym[0])

输出为：

Eigenvalues (Symmetric Matrix):tensor([-1.,  3.])
Eigenvectors (Symmetric Matrix):tensor([[-0.7071,  0.7071],[ 0.7071,  0.7071]])
Validation:tensor([True, True])

3.3 特征值和特征向量的性质

1. 特征值的性质

   • 特征值的和：所有特征值的和等于矩阵的迹（trace），即对角线元素的和。
   • 特征值的乘积：所有特征值的乘积等于矩阵的行列式（determinant）。

2. 特征向量的性质

   • 线性无关性：不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
   • 基：对于 $n\times n$矩阵，如果存在 $n$个线性无关的特征向量，那么这些向量可以构成 $n$ 维空间的一个基。

3.4 特征值和特征向量在深度学习中的应用

在深度学习中，特征值和特征向量主要用于以下几个方面：

1. 主成分分析（PCA）：通过 PCA 技术，可以找到数据的主要成分（特征向量），并将其投影到低维空间中，从而实现数据降维。
2. 正则化：通过惩罚权重矩阵的特征值（即核范数），可以控制模型的复杂度，防止过拟合。
3. 模型诊断：通过计算矩阵的特征值，可以估计矩阵的条件数（最大特征值与最小特征值的比值），从而判断矩阵的数值稳定性。（这点与奇异值类似）