数学基础 -- 线性代数之LU分解

LU分解

LU分解（LU Decomposition）是线性代数中非常重要的一种矩阵分解方法。它将一个方阵分解为一个下三角矩阵（L矩阵）和一个上三角矩阵（U矩阵）的乘积。在数值线性代数中，LU分解广泛用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式以及求逆矩阵等问题。

LU分解的基本概念

给定一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，LU分解将其表示为两个矩阵的乘积：
$$A=LU$$
其中：

• $L$ 是一个 $n\times n$ 的下三角矩阵（Lower triangular matrix），即矩阵中的所有元素都位于主对角线及其下方。在标准LU分解中，$L$ 的主对角线元素通常为1。
• $U$ 是一个 $n\times n$ 的上三角矩阵（Upper triangular matrix），即矩阵中的所有元素都位于主对角线及其上方。

下三角矩阵的行列式

对一个下三角矩阵 $L$，其行列式 $\det (L)$ 等于主对角线上所有元素的乘积。这是因为在计算行列式时，非对角线上的元素乘积由于是下三角矩阵而为零，最终行列式只取决于主对角线元素的乘积。

假设 $L$ 是一个 $n\times n$ 的下三角矩阵，其形式为：
$$L=\left(\begin{array}{ccccc}{l}_{11}& 0& 0& \cdots & 0\\ l_{21}& l_{22}& 0& \cdots & 0\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ l_{n1}& l_{n2}& l_{n3}& \cdots & l_{nn}\end{array}\right)$$

则 $L$ 的行列式为：
$$\det (L)=l_{11}\times l_{22}\times \cdots \times l_{nn}$$

标准LU分解中的 $L$ 的行列式为1

在标准LU分解中，我们要求下三角矩阵 $L$ 的主对角线元素全为1，即 $l_{11}=l_{22}=\cdots =l_{nn}=1$。因此，对于标准LU分解的 $L$ 矩阵，其行列式为：
$$\det (L)=1\times 1\times \cdots \times 1=1$$

举例说明

假设我们有一个3阶矩阵 $A$，经过标准LU分解后得到：
$$L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ l_{21}& 1& 0\\ l_{31}& l_{32}& 1\end{array}\right)$$
则 $L$ 的行列式为：
$$\det (L)=1\times 1\times 1=1$$

详细推导示例

为了更清晰地理解，我们可以通过高斯消元的方式来具体推导一个矩阵 $A$ 的标准LU分解。

设 $A$ 是一个 $3\times 3$ 的矩阵：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 4& 1& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

我们需要通过一系列的初等行变换将 $A$ 转化为上三角矩阵 $U$，并记录下消元过程中的乘数构造矩阵 $L$。

步骤1：消去第二行第一个元素

使用第一行的首元2来消去第二行第一个元素4。乘数为：
$$L_{21}=\frac{4}{2}=2$$
然后更新第二行：
$$\text{第二行}=\text{第二行}-2\times \text{第一行}$$
得到：
$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -2\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

步骤2：消去第三行第一个元素

使用第一行的首元2来消去第三行第一个元素-2。乘数为：
$$L_{31}=\frac{-2}{2}=-1$$
然后更新第三行：
$$\text{第三行}=\text{第三行}+1\times \text{第一行}$$
得到：
$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -2\\ 0& 1& 6\end{array}\right)$$

步骤3：消去第三行第二个元素

使用第二行的次元3来消去第三行第二个元素1。乘数为：
$$L_{32}=\frac{1}{3}\approx 0.333$$
然后更新第三行：
$$\text{第三行}=\text{第三行}-\frac{1}{3}\times \text{第二行}$$
得到：
$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -2\\ 0& 0& 5.333\end{array}\right)$$

此时，矩阵已经被转换为上三角矩阵 $U$，而消元过程中使用的乘数构成下三角矩阵 $L$：
$$L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ -1& 0.333& 1\end{array}\right)$$
$$U=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -2\\ 0& 0& 5.333\end{array}\right)$$

通过计算，矩阵 $L$ 的行列式为：
$$\det (L)=1\times 1\times 1=1$$

总结

在标准LU分解中，要求下三角矩阵 $L$ 的主对角线元素为1，因此其行列式为1。这是由行列式的性质和LU分解的定义直接得出的结论。如果我们不要求主对角线元素为1，$L$ 的行列式则等于这些主对角线元素的乘积。