C++数据结构-树的概念及分类介绍（基础篇）

1.什么是树

树是数据结构中的一种，其属于非线性数据结构结构的一种，我们前文所提到的数据结构多数都是线性的，这也是较为简单的数据结构，而接下来的树与图均属于非线性数据结构，也是概念极多的一类。

树是由结点或顶点和边组成的(可能是非线性的)且不存在着任何环的一种数据结构。没有结点的树称为空(null或empty)树。一棵非空的树包括一个根结点，还(很可能)有多个附加结点，所有结点构成一个多级分层结构。

树的定义：n个节点组成的有限集合。n=0，空树；n>0,1个根节点，m个互不相交的有限集，每个子集为根的子树。

如图所示，图为一颗树：

2.树的基本术语

l  节点的度：树中某个节点的子树的个数。

l  树的度：树中各节点的度的最大值。

l  分支节点：度不为零的节点。

l  叶子节点：度为零的节点。

l  路径：i->j；路径长度：路径经过节点数目减1。

l  孩子节点：某节点的后继节点；双亲节点：该节点为其孩子节点的双亲节点（父母节点）；兄弟节点：同一双亲的孩子节点；子孙节点：某节点所有子树中的节点；祖先节点：从树节点到该节点的路径上的节点。

l  节点的层次：根节点为第一层（以此类推）；树的高度：树中节点的最大层次。

l  有序树：树中节点子树按次序从左向右安排，次序不能改变；无序树：与之相反

l  森林：互不相交的树的集合。

3.树的性值

l  树的节点树为所有节点度数加1（加根节点）。

l  度为m的树中第i层最多有m^(i-1)个节点。

l  高度为h的m次树至多(m^h-1)/(m-1)个节点。

l  具有n个节点的m次树的最小高度为logm( n(m-1) + 1 )  向上取整。

4. 二叉树简介

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

如图

如图，每一个结点中最多拥有一个左结点和一个右结点，并没有多余的结点，这是很明显的二叉树的特征

5. 二叉树的特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：

1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

6. 二叉树的性质

二叉树具有以下几种特征

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2的(i-1)次方个节点(i≥1)。

性质2：深度为k的二叉树至多有2的k次方-1个结点(k≥1)。

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

7. 几种特殊的二叉树

l 斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

如图为一颗左斜树

l 满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点有：

1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。

2）非叶子结点的度一定是2。

3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

如图为一颗满二叉树

l 完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

如图为一颗完全二叉树