动态规划day45:编辑距离|115. 不同的子序列、583. 两个字符串的删除操作、72. 编辑距离(动规终极好题)

115. 不同的子序列

给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 10^9 + 7 取模。

示例 1：

输入：s = “rabbbit”, t = “rabbit”
输出：3
解释：
如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到 “rabbit” 的方案。
rabbbit
rabbbit
rabbbit

示例 2：

输入：s = “babgbag”, t = “bag”
输出：5
解释：
如下所示, 有 5 种可以从 s 中得到 “bag” 的方案。
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag

提示：

• 1 <= s.length, t.length <= 1000
• s 和 t 由英文字母组成

class Solution {
public:int numDistinct(string s, string t) {vector<vector<uint64_t>> dp(s.size()+1,vector<uint64_t>(t.size()+1));for(int i=0;i<=s.size();i++)dp[i][0]=1;for(int i=1;i<=t.size();i++)dp[0][i]=0;for(int i=1;i<=s.size();i++)for(int j=1;j<=t.size();j++){if(s[i-1]==t[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];elsedp[i][j]=dp[i-1][j];}return dp[s.size()][t.size()];}
};

本题关键：递推公式的推导

首先，dp [i] [j]的含义是以 s[i-1] 为结尾的序列中，有多少个以 t[j-1] 为结尾的序列。

据此，我们分两种情况来讨论:

• 第一种，当s[i-1]与t[j-1]不相等，那么s有没有s[i-1]，效果其实都是一样的，即dp[i] [j]=dp[i-1] [j]。

• 第二种，当s[i-1]与t[j-1]相等时，此时s[i-1]显然时有用的。当我们使用s[i-1]时，由于末尾元素相等，我们稍加思索，可以得出：dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1]；当我们不使用s[i-1]时，则和第一种一样，d[i] [j]=dp[i-1] [j]。那么它们是求和还是求最大值呢？显然是求和了，即：

			if(s[i-1]==t[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];elsedp[i][j]=dp[i-1][j];

另外，uint64_t等效于unsigned long 且uint64_t 表示数据范围则是0 ~2^64-1，int16_t
表示数据范围为-2^64~264-1。

583. 两个字符串的删除操作

给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数。

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例 1：

输入: word1 = “sea”, word2 = “eat”
输出: 2
解释: 第一步将 “sea” 变为 “ea” ，第二步将 "eat "变为 “ea”

示例 2:

输入：word1 = “leetcode”, word2 = “etco”
输出：4

提示：

• 1 <= word1.length, word2.length <= 500
• word1 和 word2 只包含小写英文字母

class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {int len1=word1.size();int len2=word2.size();vector<vector<int>> dp(len1+1,vector<int>(len2+1));for(int i=0;i<=len1;i++)dp[i][0]=i;for(int j=1;j<=len2;j++)dp[0][j]=j;for(int i=1;i<=len1;i++)for(int j=1;j<=len2;j++){if(word1[i-1]==word2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1];elsedp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);}return dp[len1][len2];}
};

在上一题的基础上，这道题还是很容易想出来的。递推公式的逻辑是当末尾元素相等时，就等效于把末尾元素去掉，即dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1]；当末尾元素不相等时，那么末尾元素必要删一个，分两种情况，然后取最小值即可。

72. 编辑距离(动规终极好题)

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = “horse”, word2 = “ros”
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2：

输入：word1 = “intention”, word2 = “execution”
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 ‘t’)
inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’)
enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’)
exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’)
exection -> execution (插入 ‘u’)

提示：

• 0 <= word1.length, word2.length <= 500
• word1 和 word2 由小写英文字母组成

class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {int len1=word1.size();int len2=word2.size();vector<vector<int>> dp(len1+1,vector<int>(len2+1));for(int i=0;i<=len1;i++)dp[i][0]=i;for(int j=1;j<=len2;j++)dp[0][j]=j;for(int i=1;i<=len1;i++)for(int j=1;j<=len2;j++){if(word1[i-1]==word2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1];elsedp[i][j]=min(min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1),dp[i-1][j-1]+1);}return dp[len1][len2];}
};

难点还是在递归公式，要分两种情况讨论：

• 当word1[i-1]==word2[j-1]时，此时末尾元素相等，说明这两个元素时不需要操作的，则dp [i] [j]=dp [i-1] [j-1]
• 当word1[i-1]!=word2[j-1]时，又要分3种情况讨论：
  • 删：若删 word1，则dp [i] [j]=dp [i-1] [j]+1；若删 word2，则dp [i] [j]=dp [i] [j-1]+1
  • 增：从问题的本质上讲，增和删时一致的，即 word2 增其实是等效于 word1 删。也就是说，实现增和删效果的代码本质上是一致的，所以不用另写！
  • 替换：两个末尾元素都参与替换了，显然dp [i] [j]=dp [i-1] [j-1]+1