高中数学：立体几何-外接球的外心法

一、外心法定义

依然以三棱锥为例

即，找到三棱锥的外接球的球心，从而可以确定出外接球的半径R。
而三棱锥有四个顶点，这四个顶点必然都在外接球的球面上。

寻找思路：
找到底面外接圆的圆心，然后，过该圆心做垂线，那么，这个线上的点，到三个顶点的距离相等。
再找顶点到该垂线上的某个点的距离，使得该距离等于该点到底面顶点的距离。
此时，该点即为外接球的球心。
因为它到三棱锥的四个顶点的距离相等。

一般，我们把其中一个直角三角形作为底面，找它的外心。因为，直角三角形的外心必然在斜边上。

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这种解法适合的题目，一般有个前提条件
1、可以找到一条线垂直某个面，那么，将该面作为底面。

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可能用到的公式：
正弦定理

余弦定理

这两个定理，用于球三角形外接圆的半径。

二、习题

1、例题一

解析
我们发现，底面△ABC是一个直角三角形，所以，它的外心在斜边BC的中点。
然后，经过BC中点做垂线。
又发现面PBC⊥面ABC，所以，垂线必然在PBC平面内。
从而，变成找△PBC的外心。
由于，知道△PBC的三边长，于是，利用正弦定理和余弦定理，直接求出外接圆半径，即为三棱锥外接球的半径。

2、例题二

解析
从题目信息，可以发现△ABC是直角三角形，AC为斜边。取AC中点D。
在根据勾股定理，可以证明，PD⊥底面ABC
进而，三棱锥的外接球半径即为△PAC的外接圆半径

3、例题三

解析
发现△ACP是直角三角形，△ABP为等边三角形
在根据勾股定理，发现，△ACD也是直角三角形。
所以，AC⊥面ABP，于是，将△ABP作为底面求解。

注意，不要用Rt△ACP为底面，要用等边△ABP为底面找球心。

4、例题四

解析
以等边△BCD为底面，取BD中点T，则△ATC也是等边三角形。
所以，先找△BCD的外心，这个外心必然在CT直线上。
从而得解
为$\frac{2\sqrt{13}}{3}$