清风数学建模学习笔记——Topsis法
数模评价类(2)——Topsis法
概述
Topsis:Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution
也称优劣解距离法,该方法的基本思想是,通过计算每个备选方案与理想解和负理想解之间的距离,从而评估每个方案的优劣。
案例
已知下列20条河流几项指标数据,指标有含氧量、PH值、细菌总数、植物性营养物量,试对20条河流的水质进行评价和排序。

思考:适不适合使用层次分析法进行评价?
答:不适合。原因:1、决策层的方案数为20>15,很难构造通过一致性检验的判断矩阵,并且一致性检验中RI可查的最大n为15;2、若使用层次分析法,没有充分利用已知方案各向指标数据进行评价。
数据集基本概念:
如案例中所给数据表格构成一个典型的数据集,每一行代表一个记录/数据项/对象,
第一列构成索引列(index),除每一列外每一列代表一个指标/特征
Topsis步骤
Step1:正向化处理
指标分类:

在该案例中,极大型:含氧量,极小型:细菌含量,中间型:PH值,区间型:营养量
正向化处理即将所有指标转化为极大型指标
符号说明:x代表数据集中对应特征的一列, x i x_i xi表示该列第i行元素
极小型->极大型
x i ^ = m a x { x } − x i \hat{x_{i}}=max\{x\}-x_{i}\\ xi^=max{x}−xi
如果所有元素为正数,可取倒数实现正向化
中间型->极大型
x i ^ = 1 − x i − x b e s t m a x { x i − x b e s t } \hat{x_i}=1-\frac{x_i-x_{best}}{max\{x_i-x_{best}\}} xi^=1−max{xi−xbest}xi−xbest

注:这种正向化处理将数据值映射到[0,1],数据越趋近中间理想值,映射值越趋近于1
区间型->极大型

注:区间型指标正向化需考虑左右两侧,类似中间型指标的正向化方法,当两侧值越趋近理想趋近边界值时,映射值越趋近于1
Step2:正向化矩阵标准化
标准化处理是矩阵预处理中基础性的步骤,其目的是消除不同指标量纲的影响,这里采用向量归一化(也称为L2正则化,即将每一列向量转化为单位特征列向量)

Step3:计算得分并归一化
Topsis优劣解的核心思想就是先确定两个正(负)理想的数据向量,然后将每个对象数据向量对其评分。由于我们已经将所有指标正向化,因此抽出每一列的最大值构成最大值向量 Z + Z_{+} Z+,抽出每一列的最小值构成最小值向量 Z − Z_{-} Z−,对于每个评价对象数据向量 Z i Z_i Zi,我们可以用向量距离公式计算 Z i Z_i Zi与 Z + Z_{+} Z+和 Z − Z_{-} Z−的距离 D i + 和 D i − D_i^{+}和D_i^{-} Di+和Di−,然后得到每个对象未归一化的评分
S i = D i − D i − + D i + S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{-}+D_i^{+}} Si=Di−+Di+Di−

归一化后就得到各对象最终评分
考虑指标权重系数,对算法进行修改

权重系数可由构造判断矩阵法得到,也可以由熵权法【后续讨论】得到
运行python代码结果:

简要分析结果可知I、J、K河流水质最好,N河流水质明显最差
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