全脐点曲面当且仅当平面或者球面的一部分

$S_{\text{ 是全脐点曲面当且仅当 }}{S}_{\text{ 是平面或者球面的一部分。}}$

证：

充分性显然，下证必要性。

若$r(u,v)$是全脐点曲面，设其在$(u,v)$处的主曲率为$k(u,v)$,则有$L=kE,M=kF,N=kG$。

则$k=L/E$是光滑的，并且

$⟨n_u+k{r}_u,r_u⟩=-L+kE=0$
$\begin{array}{rl}& ⟨n_u+k{r}_u,r_v⟩=-M+kF=0\\ & ⟨n_u+k{r}_u,n⟩=0\end{array}$

从而$n_u+k{r}_u=0$,同理$n_v+k{r}_v=0$。

两式求偏导数再相减，得到$k_v{r}_u-k_u{r}_v=0$,从而$k_u=k_v=0$,从而$k$是常值函数。

分两种情况讨论
1.$k=0$,则带入上式看出$n$是常向量，从而$S$是平面；
2.$k\ne 0$,则$a:=n+kr$是常向量，则$|r-\frac{a}{k}|=|\frac{k}{n}|=\frac{1}{|k|}$。从而$S$是半径为$\frac{1}{|k|}$的球面的一部分。