音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT

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前言

按照傅里叶发展的历史，本应该先介绍傅里叶级数，但是由于DTFT更通用，且DTFT是属于核心理论，而DFS是DTFT的一种特列，所以该系列文章中先介绍DTFT，也就是离散时间傅里叶变换。

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一、DTFT的解释

1.DTFT公式

看一下DTFT和CFT也就是连续傅里叶变换的对比：

• DTFT
  $$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
• CFT
  $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$

对比CFT，我们可以看到DTFT和CFT的差别在于，一个自变量是$n$，一个自变量是$t$，一个是非连续一个是连续。所以二者对比：

• 连续信号：在CFT中，频率是连续变量，频谱$F(\omega )$对应的是一个实数角频率$\omega$，直接描述频率分量。
• 离散信号： 在 DTFT （ 包括DFT） 中，由于信号是离散的，频谱的周期性引入了单位圆上的频率表示。对于$X(\omega )$写作$X(e^{j\omega })$，所以DTFT写作为：
  $$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$

2.DTFT右边释义

对于DTFT右边$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$我们来一步步分析这个公式的作用。

1） 复指数$e^{-j\omega n}$

上一篇文章中，我们用欧拉公式将极坐标表示为复指数形式：
$$e^{j\theta }=\cos (\theta )+j\sin (\theta )$$
由此可以得到
$$e^{-j\omega n}=>\cos (j\omega n)-jsin(\omega n)$$

• 实部：$\cos (j\omega n)$是以频率 $\omega$的余弦震荡
• 虚部：$sin(\omega n)$是以频率 $\omega$的正弦震荡

它表示的含义是随着$n$的增长，以频率$\omega$在一个单位圆上以顺时针方式进行周期震荡，如下图:

• $n$代表时间$t$在$[0,5]$区间上的变换
• $Z$的指向是极坐标
• $Im$是虚部比变化
• $Re$是实部变化
  

2）序列与复指数相乘$x[n]\ast e^{-j\omega n}$

复指数序列

在上一篇文章中，我们说$z=r\ast e^{i\theta }$表示了极坐标的旋转，$r$代表了模长，而$x[n]\ast e^{-j\omega n}$中$x[n]$可以是实数和虚数，所以对于$x[n]\ast e^{-j\omega n}$值得注意的是，应该理解为对于$x[n]$进行旋转$-\omega n$角度，而不是理解为模长。

而对于整个$x[n]$的旋转，我们得到的是对于以某一个频率$\omega$旋转了$-\omega n$角度的新的序列，这就叫做复指数序列。其中对于$e^{-j\omega n}$我们看作是对于复指数序列的基函数。

复数的共轭

对于一个复数$z=a+bi$，它的共轭复数为$\overline{z}=a-bi$

• 复数共轭的几何意义是以实轴为对称轴反射。
• 共轭复数在许多计算中很重要，例如求复数的模:$|z|=\sqrt{z\ast \overline{z}}$，展开来为：
  $$(a+bi)\ast a(-bi)=a^2-abi+abi-b^2\ast i^2,(i^2=-1)=>a^2+b^2$$

复数空间的内积使用了共轭来确保以下性质：

• 共轭对称性
  $$<f,g>=\overline{<g,f>}$$
• 非负性
  $$<f,f>\ge 0$$

正交

正交：在数学中，正交（orthogonality）通常用于描述两个向量或函数之间的一种关系，表示它们彼此垂直或互不相关。

• 向量正交：在欧几里得空间中，两个向量 $u,v$ 如果它们的内积为 0，则称它们是正交的，即：$$u\ast v=0$$
• 函数正交：两个函数$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上内积为0，表示为函数正交，即：$$<f,g>={\int }_a^{b}f(x)g(x{)}^{\ast }dx=0$$

正交意味着在平面上，角度为90°，例如$(1,i),(1,-i)$：

正交集

正交集是由一组两两正交的向量或函数组成的集合。在这种集合中，任意两个不同的元素的内积为 0。而对于复指数序列的基函数$e^{-j\omega n}$则有：
$$\begin{gathered} <e^{-j{\omega }_{l}n},e^{-j{\omega }_{m}n}>=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{-j{\omega }_{l}n}\ast (e^{-j{\omega }_{m}n}{)}^{\ast } \\ (e^{-j{\omega }_{m}n}{)}^{\ast }=e^{j{\omega }_{m}n},由于复共轭 \\ <e^{-j{\omega }_{l}n},e^{-j{\omega }_{m}n}>=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{-j{\omega }_{l}n}\ast e^{j{\omega }_{m}n}=> \\ \sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n} \end{gathered}$$
当${\omega }_m\ne {\omega }_l$时，$e^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n}$表示的是一个周期性复数，几何上表示在复平面上绕原点画圆，如同上文中对于$e^{-j\omega n}$解释的图像，所以对于累加和${\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n}$为0。

也就是说对于任意复指数序列的基函数，当${\omega }_m\ne {\omega }_l$时，两者之间相互不影响，这也正是DTFT使用复指数来进行运算的原因！

3）复指数序列求和

DTFT右边对于复指数序列为什么要进行求和，即${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$？

上面我们说了对于任意复指数序列的基函数，当${\omega }_m\ne {\omega }_l$时，两者之间相互不影响。所以对于$x[n]\ast e^{-j\omega n}$中，对于某一个${\omega }_k$，$x[n]\ast e^{-j{\omega }_{k}n}$中，将不会包含其他频率的影响。

在欧几里得空间中，投影的定义是：$投影=<v\ast u>u$，其中

• $v$ 是要投影的向量
• $u$是基向量
• $⟨v,u⟩$ 是内积，量化了 $v$ 与 $u$的相似程度

而对于复指数序列投影，则有：
$$\begin{gathered} <x[n],e^{-j\omega n}>=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ast \overline{e^{-j\omega n}} \\ \overline{e^{-j\omega n}}=e^{j\omega n}共轭性 \\ <x[n],e^{-j\omega n}>=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n} \end{gathered}$$
其实就是DTFT函数，它的目的就是为了不同频率之间的影响。即如果$$<x[n],e^{-j{\omega }_{k}n}>=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j{\omega }_{k}n}=0$$，那么序列$x[n]$对于频率${\omega }_k$没有影响。

3.DTFT左边边释义

1）实部与虚部

上文中解释了DTFT函数的由来，即${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$可以看作是对信号进行“投影”，找出信号与每个频率基函数的匹配程度。那么如果
$$<x[n],e^{-j{\omega }_{k}n}>=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j{\omega }_{k}n}\ne 0$$这个值我们表示为$X({\omega }_k)$有什么含义？或者说有什么作用？

我们知道对于欧拉公式：
$$e^{j\theta }=\cos (\theta )+j\sin (\theta )$$
它的实部表示了相位（两波之间的时间或空间偏移），虚部表示了幅度，那么对于DTFT公式：
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$$
其中复指数通过欧拉公式得到
$$e^{-j\omega n}=\cos (\omega n)-j\sin (\omega n)$$
因此DTFT可以拆解为：
$$\begin{gathered} X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](\cos (\omega n)-j\sin (\omega n)) \\ X(e^{j\omega })=\underset{Re(X(e^{j\omega }))}{\underbrace{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cos (\omega n)}}-\underset{Ie(X(e^{j\omega }))}{\underbrace{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]j\sin (\omega n)}} \end{gathered}$$

• $Re(X(e^{j\omega })$是实部
• $Im(X(e^{j\omega })$是虚部

2）幅度与相位

• 幅度：幅度是频谱中每个频率分量的强度或大小，实部和虚部的模长，可以得出该频率分量的幅度。使用$|X(e^{j\omega })|$表示信号在频率 $\omega$处的能量强度或振幅
  $$|X(e^{j\omega })|=\sqrt{Re(X(e^{j\omega }{)}^2+Im(X(e^{j\omega }{)}^2}$$
• 相位：相位是频谱中每个频率分量相对于其他频率分量的相位偏移，通过实部和虚部的比值，可以计算相位。使用$\arg (X(e^{j\omega }))或\angle (X(e^{j\omega }))$表示：
  $$\angle (X(e^{j\omega }))={\tan }^{-1}\frac{Im(X(e^{j\omega })}{Re(X(e^{j\omega })}$$

二、IDTFT

1.逆离散时间的傅里叶变换

上文中我们使用的傅里叶变换将序列从时域转成了频域，那么从频域恢复到时域我们成为逆傅里叶变换，逆离散时间的傅里叶变换表示为IDTFT。

它的公式为：
$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$

2.IDTFT验证

我们将$X(e^{j\omega })$代入到公式中：
$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]e^{-j\omega k})e^{j\omega n}d\omega$$
根据之前文章积分和求和的特性
$$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-j\omega (n-k)}dw\right)$$
先看积分项
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-j\omega (n-k)}dw$$

• 当$k=n$时：
  $$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-j\omega (n-k)}dw=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }1dw=1$$
• 当$k\ne n$时，上文中说过，因为$e^{j({\omega }_m-{\omega }_l)n}$表示的是一个周期性复数，其积分结果为零：
  $$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-j\omega (n-k)}dw=\frac{1}{2\pi }\ast 0=0$$

因此
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-j\omega (n-k)}dw=\{\begin{array}{l}1,n=k\\ 0,n\ne k\end{array}$$
我们用单位脉冲$\delta$表示0，1，所以可以得到
$$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\delta [n-k]$$
有没有看起来很熟悉，这不就是冲激分解，使用单位冲激序列表示的加权和

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总结

本篇文章中，我们对于DTFT做了深入的了解，附带着介绍了一些使用的数学知识，同时得到了IDTFT的公式。受到篇幅限制，本章只对DTFT公式进行了展示，并没有深入了解DTFT存在的条件和性质，那么在下一篇文章中会进行进一步介绍DTFT相关性质和条件。

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